Question

17．已知拋物線C：x²=2y的焦點為F，過拋物線上一點M作拋物線C的切線l，l交y軸于點N．
（1）判斷△MFN的形狀；
（2）若A，B兩點在拋物線C上，點D（1，1）滿足$\overrightarrow{AD}$+$\overrightarrow{BD}$=$\overrightarrow{0}$，若拋物線C上存在異于A，B的點E，使得經過A，B，E三點的圓與拋物線在點E處的有相同的切線，求點E的坐標．

Answer 1

分析 （1）利用導數求得切線方程，當x=0，求得N點坐標，根據拋物線的焦半徑公式，即可求得丨MF丨=丨NF丨，則△MFN為等腰三角形；
（2）根據向量的坐標運算，求得B點坐標，分別求得AE及AB的中垂線方程，即可求得△ABE外接圓的圓心，由k_ME•x₀=-1，即可求得點E的坐標．

解答 解：（1）由題意可知：拋物線C：x²=2y的焦點F（0，$\frac{1}{2}$），
設M（x₁，$\frac{{x}_{1}^{2}}{2}$），由y=$\frac{{x}^{2}}{2}$，y′=x，
則切線l的方程y-$\frac{{x}_{1}^{2}}{2}$=x₁（x-x₁），則y=x₁x-$\frac{{x}_{1}^{2}}{2}$，
∴N（0，$\frac{{x}_{1}^{2}}{2}$），丨MF丨=$\frac{{x}_{1}^{2}}{2}$+$\frac{1}{2}$，丨NF丨=$\frac{{x}_{1}^{2}}{2}$+$\frac{1}{2}$，
丨MF丨=丨NF丨，
∴△MFN為等腰三角形；
（2）設A（x₂，$\frac{{x}_{2}^{2}}{2}$），由$\overrightarrow{AD}$+$\overrightarrow{BD}$=$\overrightarrow{0}$，
∴D（1，1）是AB的中點，B（2-x₂，2-$\frac{{x}_{2}^{2}}{2}$），
由B在拋物線C上，則（2-x₂）²=2（2-$\frac{{x}_{2}^{2}}{2}$），
解得：x₂=0，x₂=2，
∴A，B兩點的坐標為（0，0），（2，2），
設E（x₀，$\frac{{x}_{0}^{2}}{2}$），（x₀≠0，x₀≠2），
AB的中垂線方程y=-x+2，①AE的中垂線方程y=-$\frac{2}{{x}_{0}}$x+1+$\frac{{x}_{0}^{2}}{4}$，②
由
由①②解得：圓心M（-$\frac{{x}_{0}^{2}+2{x}_{0}}{4}$，$\frac{{x}_{0}^{2}+2{x}_{0}+8}{4}$），
由k_ME•x₀=-1，整理得：x₀²-x₀-2=0，
解得：x₀=-1或x₀=2，由x₀≠0，x₀≠2，
∴x₀=-1，
∴E點坐標為（-1，$\frac{1}{2}$）．

點評 本題考查直線與拋物線的位置關系，向量數量積的坐標運算，三角形外接圓的求法，考查計算能力，屬于中檔題．