Question

5．已知拋物線C：x²=2py（p＞0）與圓O：x²+y²=8在第一象限內的交點為M，拋物線C與圓O在點M處的切線斜率分別為k₁，k₂，且k₁+k₂=1．
（Ⅰ）求拋物線C的方程；
（Ⅱ）設拋物線C在點M處的切線為l，過圓O上任意一點P作與l夾角為45°的直線，交l于A點，求|PA|的最大值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）設M點坐標，根據導數幾何意義，求得切線斜率，列方程即可求得p的值，即可求得拋物線C的方程；
（Ⅱ）由（Ⅰ）直線l的方程2x-y-2=0，則丨PA丨=$\sqrt{2}$d，d_max=$\frac{2}{\sqrt{5}}$+2$\sqrt{2}$，即可求得|PA|的最大值．

解答 解：（Ⅰ）設M（x₀，y₀），x₀＞0，y₀＞0，
由y=$\frac{{x}^{2}}{2p}$，y′=$\frac{x}{p}$，
故k₁=$\frac{{x}_{0}}{p}$，由k₂=-$\frac{{x}_{0}}{{y}_{0}}$，k₁+k₂=1，
$\left\{\begin{array}{l}{\frac{{x}_{0}}{p}-\frac{{x}_{0}}{{y}_{0}}=1}\\{{x}_{0}^{2}=2p{y}_{0}}\\{{x}_{0}^{2}+{y}_{0}^{2}=8}\end{array}\right.$，解得：$\left\{\begin{array}{l}{p=1}\\{{x}_{0}={y}_{0}=2}\end{array}\right.$，
∴拋物線C的方程為x²=2y；
（Ⅱ）由（Ⅰ）可得直線l的方程2x-y-2=0，
設點P到直線l的距離d，則丨PA丨=$\fracp9vv5xb5{sin45°}$=$\sqrt{2}$d，
d_max=$\frac{2}{\sqrt{5}}$+2$\sqrt{2}$，
∴|PA|的最大值$\sqrt{2}$（$\frac{2}{\sqrt{5}}$+2$\sqrt{2}$）=$\frac{2\sqrt{10}}{5}$+4．

點評 本題考查直線與拋物線的位置關系，導數的幾何意義，利用導數求曲線的切線方程，考查計算能力，屬于中檔題．