Question

10．已知函數f（x）=$\frac{a}{3}{x^3}$+$\frac{1}{2}$（1-a²）x²-ax，其中a∈R．
（1）若曲線y=f（x）在點（1，f（1））處的切線方程為8x+y-2=0，求a的值；
（2）當a≠0時，求函數f（x）（x＞0）的單調區間與極值；
（3）若a=1，存在實數m，使得方程f（x）=m恰好有三個不同的解，求實數m的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）求導，由f'（1）=-8，求得a的值，分別求得切線方程，與原切線方程比較，即可求得a的值；
（2）求導，根據導數與函數單調性的關系，分類討論，即可求得函數f（x）（x＞0）的單調區間與極值；
（3）由（2）可知：根據函數的單調性，求得f（x）的極值，分別作出函數$f（x）=\frac{1}{3}{x^3}-x$與y=m的圖象，從圖象上可以看出當$-\frac{2}{3}＜m＜\frac{2}{3}$時，兩個函數的圖象有三個不同的交點，即可求得m的取值范圍．

解答 解：（1）f'（x）=ax²+（1-a²）x-a，由8x+y-2=0可得f'（1）=-8，
即f'（1）=a+（1-a²）-a=-8，解得a=±3，
當a=3時，f（x）=x³-4x²-3x，f（1）=-6，f'（x）=3x²-8x-3，f'（1）=-8，
當a=-3時，f（x）=-x³-4x²+3，f（1）=-2，f'（x）=-3x²-8x+3，f'（1）=-8，
故曲線y=f（x）在點（1，f（1））處的切線方程為y+2=-8（x-1），即8x+y-6=0不符合題意，舍去，
故a的值為3．
（2）當a≠0時，f′（x）=ax²+（1-a²）x-a=（x-a）（ax+1）=a（x-a）（x+$\frac{1}{a}$），
當a＞0時，令f'（x）=0，則${x_1}=-\frac{1}{a}，{x_2}=a$
當x變化時，f'（x），f（x）的變化情況如下表：

x	（-∞，-$\frac{1}{a}$）	-$\frac{1}{a}$	（-$\frac{1}{a}$，a）	a	（a，+∞）
f'（x）	+	0	-	0	+
f（x）	↑	極大值	↓	極小值	↑

∴f（x）的單調遞增區間為$（-∞，-\frac{1}{a}），（a，+∞）$，單調遞減區間為$（-\frac{1}{a}，a）$．
函數f（x）在${x_1}=-\frac{1}{a}$處取得最大值$f（-\frac{1}{a}）$，且$f（-\frac{1}{a}）=\frac{a}{3}×{（-\frac{1}{a}）^3}+\frac{1}{2}（1-{a^2}）×{（-\frac{1}{a}）^2}+1=\frac{1}{{6{a^2}}}+\frac{1}{2}$．
函數f（x）在x₂=a處取得極小值f（a），且$f（a）=\frac{a}{3}×{a^3}+\frac{1}{2}（1-{a^2}）×{a^2}-a×a=-\frac{1}{6}{a^4}-\frac{1}{2}{a^2}$，
當a＜0時，令f'（x）=0，則${x_1}=a，{x_2}=-\frac{1}{a}$，
當x變化時，f'（x），f（x）的變化情況如下表：

x	（-∞，a）	a	（a，-$\frac{1}{a}$）	-$\frac{1}{a}$	（-$\frac{1}{a}$，+∞）
f'（x）	-	0	+	0	-
f（x）	↓	極小值	↑	極大值	↓

∴f（x）的單調遞減區間為$（-∞，a），（-\frac{1}{a}，+∞）$，單調遞增區間為$（a，-\frac{1}{a}）$，
函數f（x）在${x_1}=-\frac{1}{a}$處取得極大值$f（-\frac{1}{a}）$，
且$f（-\frac{1}{a}）=\frac{a}{3}{（-\frac{1}{a}）^3}+\frac{1}{2}（1-{a^2}）•{（-\frac{1}{a}）^2}-a×（-\frac{1}{a}）=\frac{1}{{6{a^2}}}+\frac{1}{2}$．
函數f（x）在x₂=a處取得極小值f（a），且$f（a）=\frac{a}{3}×{a^3}+\frac{1}{2}（1-{a^2}）×{a^2}-a×a=-\frac{1}{6}{a^4}-\frac{1}{2}{a^2}$，
（3）若a=1，則$f（x）=\frac{1}{3}{x^3}-x，f'（x）={x^2}-1$，
由（2）可知$f（x）=\frac{1}{3}{x^3}-x$在區間（-∞，-1），（1，+∞）內增函數，在區間（-1，1）內為減函數，
函數f（x）在x₁=1處取的極小值f（1），且$f（1）=-\frac{1}{6}-\frac{1}{2}=-\frac{2}{3}$．
函數f（x）在x₂=-1處取得極大值f（-1），且$f（{-1}）=\frac{1}{6}\frac{1}{2}=\frac{2}{3}$．
如圖分別作出函數$f（x）=\frac{1}{3}{x^3}-x$與y=m的圖象，
從圖象上可以看出當$-\frac{2}{3}＜m＜\frac{2}{3}$時，兩個函數的圖象有三個不同的交點，
即方程f（x）=m有三個不同的解，
故實數m的取值范圍為$（-\frac{2}{3}，\frac{2}{3}）$．

點評 本題考查導數的綜合應用，考查利用導數求函數的單調性區間及最值，考查方程解得個數，考查數形結合思想，考查計算能力，屬于難題．