Question

4．已知橢圓C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0）的右焦點F，過F斜率為1的直線交橢圓于M，N兩點，MN的垂直平分線交x軸于點P．若$\frac{|MN|}{|PF|}$=4，則橢圓C的離心率為$\frac{1}{2}$．

Answer 1

分析 設直線l的方程，代入橢圓方程，由韋達定理，弦長公式及中點坐標公式，求得中點坐標Q坐標，求得MN垂直平分線方程，當y=0時，即可求得P點坐標，代入即可求得丨PF丨，即可求得$\frac{|MN|}{|PF|}$，即可求得a和c的關系，即可求得橢圓的離心率．

解答 解：設直線l的方程為：y=（x-c）（k≠0），M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），
線段MN的中點Q（x₀，y₀）．
聯立$\left\{\begin{array}{l}{y=x-c}\\{\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}+\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}=1}\end{array}\right.$，化為（a²+b²）x²-2a²cx+a²c²-a²b²=0，
∴x₁+x₂=$\frac{2{a}^{2}c}{{a}^{2}+{b}^{2}}$，x₁x₂=$\frac{{a}^{2}{c}^{2}-{a}^{2}{b}^{2}}{{a}^{2}+{b}^{2}}$．
∴|MN|=$\sqrt{1+{1}^{2}}$•$\sqrt{（{x}_{1}+{x}_{2}）^{2}-4{x}_{1}{x}_{2}}$=$\frac{4a{b}^{2}}{{a}^{2}+{b}^{2}}$，x₀=$\frac{{x}_{1}+{x}_{2}}{2}$=$\frac{{a}^{2}c}{{a}^{2}+{b}^{2}}$．
∴y₀=x₀-c=-$\frac{{b}^{2}c}{{a}^{2}+{b}^{2}}$，
∴MN的垂直平分線為：y+$\frac{{b}^{2}c}{{a}^{2}+{b}^{2}}$=-（x-$\frac{{a}^{2}c}{{a}^{2}+{b}^{2}}$），
令y=0，解得x_P=$\frac{{c}^{3}}{{a}^{2}+{b}^{2}}$，
∴P（$\frac{{c}^{3}}{{a}^{2}+{b}^{2}}$，0）．
∴|PF|=c-x_P=$\frac{{2b}^{2}c}{{a}^{2}+{b}^{2}}$，
∴$\frac{|MN|}{|PF|}$=$\frac{2a}{c}$=4，
則$\frac{c}{a}$=$\frac{1}{2}$，
∴橢圓C的離心率$\frac{1}{2}$，
當k=0時，$\frac{|MN|}{|PF|}$=，也成立，
∴橢圓C的離心率$\frac{1}{2}$．
故答案為：$\frac{1}{2}$．

點評 本題考查簡單幾何性質，考查直線與橢圓的位置關系，考查直線的垂直平分線的求法，考查計算能力，屬于中檔題．