Question

16．已知$|{\overrightarrow a}|=1$，$|{\overrightarrow b}|=\sqrt{2}$，且$\overrightarrow a⊥（\overrightarrow a+\overrightarrow b）$，則向量$\overrightarrow a$與向量$\overrightarrow b$的夾角為（　　）

• A． $\frac{π}{6}$
• B． $\frac{π}{4}$
• C． $\frac{3π}{4}$
• D． $\frac{π}{4}$或$\frac{3π}{4}$

Answer 1

分析 根據$\overrightarrow{a}⊥（\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}）$便可得出$\overrightarrow{a}•（\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}）=0$，結合條件進行數量積的運算即可求出$cos＜\overrightarrow{a}，\overrightarrow{b}＞$的值，進而得出向量$\overrightarrow{a}，\overrightarrow{b}$的夾角．

解答 解：$\overrightarrow{a}⊥（\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}）$；
∴$\overrightarrow{a}•（\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}）={\overrightarrow{a}}^{2}+\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}$
=$1+\sqrt{2}cos＜\overrightarrow{a}，\overrightarrow{b}＞$
=0；
∴$cos＜\overrightarrow{a}，\overrightarrow{b}＞=-\frac{\sqrt{2}}{2}$；
又$0≤＜\overrightarrow{a}，\overrightarrow{b}＞≤π$；
∴$\overrightarrow{a}，\overrightarrow{b}$的夾角為$\frac{3π}{4}$．
故選C．

點評 考查向量垂直的充要條件，向量數量積的運算及計算公式，向量夾角的范圍．