Question

7．在直角坐標系xOy中，以O為極點，x軸正半軸為極軸建立極坐標系，且兩個坐標系取相同的單位長度，已知圓C₁：ρ=-2cosθ，曲線${C_2}：\left\{{\begin{array}{l}{x=2cost}\\{y=sint}\end{array}}\right.$（t為參數）．
（Ⅰ）求圓C₁和曲線C₂的普通方程；
（Ⅱ）過圓C₁的圓心C₁且傾斜角為$\frac{π}{3}$的直線l交曲線C₂于A，B兩點，求圓心C₁到A，B兩點的距離之積．

Answer 1

分析 （Ⅰ）圓C₁：ρ=-2cosθ，即ρ²=-2ρcosθ，利用互化公式可得圓C₁的普通方程．由曲線${C_2}：\left\{{\begin{array}{l}{x=2cost}\\{y=sint}\end{array}}\right.$（t為參數），利用平方關系可得：曲線C₂的普通方程．
（Ⅱ）由（Ⅰ）可知：C₁（-1，0）則直線l的參數方程代入$\frac{{x}^{2}}{4}+{y}^{2}$=1，有$\frac{13}{4}{t}^{2}-t-3=0$，圓心C₁到A，B兩點的距離之積為|t₁t₂|．

解答 解：（Ⅰ）圓C₁：ρ=-2cosθ，即ρ²=-2ρcosθ，直角坐標方程為（x+1）²+y²=1，
曲線${C_2}：\left\{{\begin{array}{l}{x=2cost}\\{y=sint}\end{array}}\right.$（t為參數），消去參數可得$\frac{{x}^{2}}{4}+{y}^{2}$=1．
（Ⅱ）過圓C₁的圓心C₁且傾斜角為$\frac{π}{3}$的直線l的方程為y=$\sqrt{3}$（x+1），
則直線l的參數方程為：$\left\{\begin{array}{l}{x=-1+\frac{1}{2}t}\\{y=\frac{\sqrt{3}}{2}t}\end{array}\right.$（t為參數），
將其代入$\frac{{x}^{2}}{4}+{y}^{2}$=1，有$\frac{13}{4}{t}^{2}-t-3=0$，∴${t}_{1}{t}_{2}=-\frac{12}{13}$．
所以圓心C₁到A，B兩點的距離之積為|t₁t₂|=$\frac{12}{13}$．

點評 本題考查了極坐標化為直角坐標方程、參數方程化為普通方程、直線參數方程的應用，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．