Question

15．已知動圓過定點P（4，0），且在y軸上截得的弦MN的長為8．
（1）求動圓圓心C的軌跡方程；
（2）過點（2，0）的直線l與C相交于A，B兩點．求證：$\overrightarrow{OA}•\overrightarrow{OB}$是一個定值．

Answer 1

分析 （1）設圓心為C（x，y），線段MN的中點為T，則|MT|=$\frac{|MN|}{2}$=4．然后求解動圓圓心C的軌跡方程．
（2）設直線l的方程為x=ky+2，A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）聯立直線與拋物線方程，利用韋達定理最后求解$\overrightarrow{OA}$•$\overrightarrow{OB}$，推出結果即可．

解答 解：（1）設圓心為C（x，y），線段MN的中點為T，則|MT|=$\frac{|MN|}{2}$=4．（1分）
依題意，得|CP|²=|CM|²=|MT|²+|TC|²，∴y²+（x-4）²=4²+x²，
∴y²=8x為動圓圓心C的軌跡方程．（4分）
（2）證明：設直線l的方程為x=ky+2，A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）     （5分）
由$\left\{\begin{array}{l}x=ky+2\\{y^2}=8x\end{array}\right.$，得y²-8ky-16=0．∴△=64k²+64＞0．（7分）
∴y₁+y₂=8k，y₁y₂=-16，$\overrightarrow{OA}$=（x₁，y₁），$\overrightarrow{OB}$=（x₂，y₂）．（8分）
∵$\overrightarrow{OA}$•$\overrightarrow{OB}$=x₁x₂+y₁y₂=（ky₁+2）（ky₂+2）+y₁y₂（9分）
=k²y₁y₂+2k（y₁+y₂）+4+y₁y₂
=-16k²+16k²+4-16=-12．（11分）
∴$\overrightarrow{OA}$•$\overrightarrow{OB}$是一個定值．（12分）

點評 本題判斷軌跡方程的求法，直線與拋物線的位置關系的應用，定值問題的解決是解題的關鍵．考查計算能力．