Question

5．已知橢圓的一個(gè)頂點(diǎn)為A（0，-1），焦點(diǎn)在x軸上，若右焦點(diǎn)到直線x-y+2$\sqrt{2}$=0的距離為3
（1）求橢圓的方程
（2）設(shè)橢圓與直線y=x+m相交于不同的兩點(diǎn)M，N，求m的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）設(shè)橢圓方程，利用點(diǎn)到直線的距離公式，求得a的值，求得橢圓方程；
（2）將直線方程代入橢圓方程，由△＞0，即可求得m的取值范圍．

解答 解：（1）由題意可知：設(shè)橢圓的方程：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}+\frac{{y}^{2}}{^{2}}=1$（a＞b＞0），右焦點(diǎn)F（c，0），c＞0，
由$\frac{丨c+2\sqrt{2}丨}{\sqrt{{1}^{2}+（-1）^{2}}}$=3，則c=$\sqrt{2}$，
b=1，a²=b²+c²=3，
∴橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為：$\frac{{x}^{2}}{3}+{y}^{2}=1$；
（2）$\left\{\begin{array}{l}{y=x+m}\\{\frac{{x}^{2}}{3}+{y}^{2}=1}\end{array}\right.$，消去y可得4x²+6mx+3（m²-1）=0，
∵直線與橢圓相交，則△=（6m）²-12×4（m²-1）＞0，整理得：m²＜4，
解得：-2＜m＜2，
∴m的取值范圍（-2，2）．

點(diǎn)評(píng) 本題考查橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，直線與橢圓的位置關(guān)系，考查點(diǎn)到直線的距離公式，屬于中檔題．