Question

10．已知a，b，c為△ABC的內角A，B，C所對的邊，且A=30°，a=1，D為BC的中點，則AD的最大值為$1+\frac{{\sqrt{3}}}{2}$．

Answer 1

分析 利用向量平行四邊形法則、余弦定理、基本不等式的性質即可得出．

解答 解：$\overrightarrow{AD}=\frac{1}{2}（\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}）$，$|\overrightarrow{AD}{|^2}=\frac{1}{4}{（\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}）^2}$，即$|\overrightarrow{AD}{|^2}=\frac{1}{4}（{\overrightarrow{AB}^2}+{\overrightarrow{AC}^2}+2|\overrightarrow{AB}|•|\overrightarrow{AC}|cosA）$=$\frac{1}{4}（{c^2}+{b^2}+2cb\frac{{\sqrt{3}}}{2}）=\frac{1}{4}（{b^2}+{c^2}+\sqrt{3}bc）$
根據余弦定理知$cosA=\frac{{{b^2}+{c^2}-{a^2}}}{2bc}=\frac{{\sqrt{3}}}{2}$，
又a=1，得${b^2}+{c^2}-1=\sqrt{3}bc$，故${b^2}+{c^2}=\sqrt{3}bc+1$，
由${b^2}+{c^2}=\sqrt{3}bc+1≥2bc$得$bc≤2+\sqrt{3}$，
$|\overrightarrow{AD}{|^2}=\frac{1}{4}（2\sqrt{3}bc+1）≤\frac{1}{4}（4\sqrt{3}+7）$；
$|\overrightarrow{AD}|≤\frac{1}{2}\sqrt{4\sqrt{3}+7}=\frac{1}{2}\sqrt{{{（2+\sqrt{3}）}^2}}=1+\frac{{\sqrt{3}}}{2}$．
故答案為：$1+\frac{{\sqrt{3}}}{2}$．

點評 本題考查了向量平行四邊形法則、余弦定理、基本不等式的性質，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．