Question

1．已知f（x）=xlnx．
（1）求曲線f（x）在x=e處的切線方程．
（2）求函數f（x）的單調區間．

Answer 1

分析 （1）求出函數的導數，求出切線的斜率，切點坐標，然后求解切線方程．
（2）利用導函數的符號，判斷函數的單調性，求解函數的單調區間即可．

解答 解：（1）由f（x）=xln x得f′（x）=ln x+1（x＞0），
所以切線斜率為f′（x）=lne+1=2
切點坐標為（e，e），
所以切線方程為y-e=2（x-e）即y=2x-e；
（2）f′（x）=ln x+1（x＞0），
令f′（x）=0，得x=$\frac{1}{e}$．
∴當x∈$（0，\frac{1}{e}）$時，f′（x）＜0；
當x∈$（\frac{1}{e}，+∞）$時，f′（x）＞0，
∴f（x）=xln x在$（0，\frac{1}{e}）$單調遞減，在$（\frac{1}{e}，+∞）$單調遞增．

點評 本題考查函數的導數的綜合應用，切線方程的求法，函數的單調性的判斷，考查計算能力．