Question

11．若函數f（x）=lnx與函數g（x）=x²+2x+a（x＜0）有公切線，則實數a的取值范圍為（　　）

• A． （ln$\frac{1}{2e}$，+∞）
• B． （-1，+∞）
• C． （1，+∞）
• D． （-ln2，+∞）

Answer 1

分析 分別求出導數，設出各自曲線上的切點，得到切線的斜率，再由兩點的斜率公式，結合切點滿足曲線方程，可得切點坐標的關系式，整理得到關于一個坐標變量的方程，借助于函數的極值和最值，即可得到a的范圍．

解答 解：f′（x）=$\frac{1}{x}$，g′（x）=2x+2，
設與g（x）=x²+2x+a相切的切點為（s，t）s＜0，與曲線f（x）=lnx相切的切點為（m，n）m＞0，
則有公共切線斜率為2s+2=$\frac{1}{m}$=$\frac{n-t}{m-s}$，
又t=s²+2s+a，n=lnm，
即有a=s²-1+ln（2s+2），
設f（s）=s²-1-ln（2s+2）（-1＜s＜0），所以f'（s）=$\frac{2{s}^{2}+2s-1}{s+1}$＜0
∴f（s）＞f（0）=-ln2-1，∴a＞-ln2-1，
∵s∈（-1，0），且趨近與1時，f（s）無限增大，∴a＞-ln2-1
故選A．

點評 本題考查導數的幾何意義，主要考查導數的運用：求單調區間和極值、最值，考查運算能力，屬于中檔題