Question

9．已知橢圓C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0）的焦點和短軸頂點構成面積為4的正方形．
（I）求橢圓的標準方程；
（II）過焦點F₁，F₂作互相平行的兩條直線，與橢圓分別交于點P，Q，R，S，求四邊形PQRS的面積的最大值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）根據題意，分析可得a=$\sqrt{2}$b=$\sqrt{2}$c且a²=4，解可得a=2，b=$\sqrt{2}$，代入橢圓的方程計算可得答案；
（Ⅱ）根據題意，由橢圓的對稱性可得四邊形PQRS為平行四邊形；且S_?PQRS=4S_△POQ，進而設P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂）；則S_?PQRS可以表示為4S_△POQ=2$\sqrt{2}$|y₁-y₂|，設直線PQ的方程為x=my-$\sqrt{2}$，聯立直線與橢圓的方程可得（my-$\sqrt{2}$）²+2y²-4=0，由根與系數的關系可得|y₁-y₂|=4$\sqrt{\frac{{m}^{2}+1}{（{m}^{2}+2）^{2}}}$，利用基本不等式分析可得|y₁-y₂|有最大值，又由S_?PQRS=4S_△POQ=2$\sqrt{2}$|y₁-y₂|，計算可得答案．

解答 解：（Ⅰ）如圖：若四邊形F₁BF₂A為正方形，則有a=$\sqrt{2}$b=$\sqrt{2}$c；
又由其面積為4，則有a²=4，即a=2，
b=$\sqrt{2}$，
則橢圓的標準方程為：$\frac{{x}^{2}}{4}$+$\frac{{y}^{2}}{2}$=1；
（Ⅱ）根據題意，過焦點F₁，F₂作互相平行的兩條直線，與橢圓分別交于點P，Q，R，S，結合橢圓的對稱性可得四邊形PQRS為平行四邊形；且S_?PQRS=4S_△POQ，
由（Ⅰ）可得：橢圓的標準方程為：$\frac{{x}^{2}}{4}$+$\frac{{y}^{2}}{2}$=1，則其焦點坐標為（±$\sqrt{2}$，0），
設P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂）；則S_?PQRS=4S_△POQ=4×$\frac{1}{2}$×|OF₁|×|y₁-y₂|=2$\sqrt{2}$|y₁-y₂|，
直線PQ不能與x軸平行，則設其方程為x=my-$\sqrt{2}$，代入橢圓的方程可得：（my-$\sqrt{2}$）²+2y²-4=0，
化簡可得：（m²+2）y²-2$\sqrt{2}$my-2=0，
y₁+y₂=$\frac{2\sqrt{2}m}{{m}^{2}+2}$，y₁•y₂=$\frac{-2}{{m}^{2}+2}$，
|y₁-y₂|=$\sqrt{（{y}_{1}+{y}_{2}）^{2}-4{y}_{1}{y}_{2}}$=$\sqrt{（\frac{2\sqrt{2}m}{{m}^{2}+2}）^{2}+\frac{8}{{m}^{2}+2}}$=4$\sqrt{\frac{{m}^{2}+1}{（{m}^{2}+2）^{2}}}$，
令t=m²+1，則t≥1，
|y₁-y₂|=4$\sqrt{\frac{t}{（t+1）^{2}}}$=4$\sqrt{\frac{1}{t+\frac{1}{t}+2}}$，
分析可得：當t=1即m=0時，|y₁-y₂|有最大值2，
此時S_?PQRS=4$\sqrt{2}$，取得最大值．

點評 本題考查直線與橢圓的位置關系，關鍵是正確求出橢圓的標準方程．