Question

15．橢圓$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$（a＞b＞0），左右焦點分別為F₁，F₂，C的離心率e=$\frac{{\sqrt{3}}}{2}$，且過P（$\sqrt{3}，\frac{1}{2}$）點
（1）求橢圓C的方程；
（2）若Q點在橢圓C上，且$∠Q{F_1}F_2^{\;}$=30°，求△QF₁F₂的面積．

Answer 1

分析 （1）由題意的離心率得到a，b的關系，化橢圓方程為$\frac{{x}^{2}}{4^{2}}+\frac{{y}^{2}}{^{2}}=1$，把P（$\sqrt{3}，\frac{1}{2}$）代入求得b²=1，則橢圓方程可求；
（2）在焦點三角形△QF₁F₂中，由已知結合余弦定理求得：|QF₁|=2，代入三角形面積公式可得△QF₁F₂的面積．

解答 解：（1）∵橢圓的離心率e=$\frac{c}{a}=\frac{\sqrt{3}}{2}$，∴$\frac{{c}^{2}}{{a}^{2}}=\frac{{a}^{2}-^{2}}{{a}^{2}}=\frac{3}{4}$，即a²=4b²，
∴橢圓C的方程可寫為$\frac{{x}^{2}}{4^{2}}+\frac{{y}^{2}}{^{2}}=1$，
把P（$\sqrt{3}，\frac{1}{2}$）代入C中，得$\frac{3}{4^{2}}+\frac{1}{4^{2}}=1$，∴b²=1，
∴橢圓C的方程為$\frac{{x}^{2}}{4}+{y}^{2}=1$；
（2）在△QF₁F₂中，
由余弦定理cos30°=$\frac{|Q{F}_{1}{|}^{2}+（2c）^{2}-|Q{F}_{2}{|}^{2}}{2•2C•|Q{F}_{1}|}$=$\frac{|Q{F}_{1}{|}^{2}+4{c}^{2}-（2a-|Q{F}_{1}|）^{2}}{2•2c•|Q{F}_{1}|}$，
解得：|QF₁|=2，
且2c=2$\sqrt{3}$，
∴${S}_{△Q{F}_{1}{F}_{2}}=2×2\sqrt{3}×\frac{1}{2}×sin30°=\sqrt{3}$

點評 本題考查橢圓的標準方程的求法，考查了直線與橢圓位置關系的應用，訓練了求解與焦點三角形有關的問題的求解方法，是中檔題．