Question

10．如圖所示，四棱錐P-ABCD，底面ABCD是邊長為2的菱形，∠ABC=60°，O為AC，BD的交點，且PO⊥平面ABCD，PO=$\sqrt{6}$，點M為側棱PD上一點，且滿足PD⊥平面ACM．
（1）若在棱PD上存在一點N，且BN∥平面AMC，確定點N的位置，并說明理由；
（2）求點B到平面MCD的距離．

Answer 1

分析 （1）當N為PD中點時，能推導出MO∥BN，由此能求出當N為PD中點時，BN∥平面AMC．
（2）設點B到平面MCD的距離為h，由${V}_{M-ABC}={V}_{B-AMC}=\frac{1}{3}×\frac{\sqrt{3}}{4}×4×\frac{\sqrt{6}}{3}$=$\frac{\sqrt{2}}{3}$，能求出B到面MAC的距離．

解答 解：（1）當N為PD中點時，BN∥平面AMC．
理由如下：
∵M為邊PD的三等分點，
∴MO為△BND的中位線，
∴MO∥BN，
∵MO?面AMC，BN?面AMC，
∴當N為PD中點時，BN∥平面AMC．
（2）∵PO=$\sqrt{6}$，四棱錐P-ABCD，底面ABCD是邊長為2的菱形，∠ABC=60°，
∴OD=$\sqrt{{2}^{2}-{1}^{2}}$=$\sqrt{3}$，∴PD=$\sqrt{（\sqrt{3}）^{2}+（\sqrt{6}）^{2}}$=3，
∴PM=2，MD=1，
∴OM⊥PD，∴OM=$\sqrt{2}$，
∴${S}_{△MAC}=\frac{1}{2}×AC×OM=\sqrt{2}$，
設點B到平面MCD的距離為h．
∵${V}_{M-ABC}={V}_{B-AMC}=\frac{1}{3}×\frac{\sqrt{3}}{4}×4×\frac{\sqrt{6}}{3}$=$\frac{\sqrt{2}}{3}$，
∴V_B-AMC=$\frac{1}{3}×{S}_{△MAC}×h$=$\frac{\sqrt{2}}{3}h=\frac{\sqrt{2}}{3}$，
解得h=1．
∴B到面MAC的距離為1．

點評 本題考查滿足線面平行的點的位置的確定，考查點到平面的距離的求法，是中檔題，解題時要認真審題，注意等體積法的合理運用．