Question

8．以直角坐標系xOy中，直線l：y=x，圓C：$\left\{\begin{array}{l}{x=-1+cosφ}\\{y=-2+sinφ}\end{array}\right.$（φ為參數），以坐標原點為為極點，x軸的正半軸為極軸建立極坐標系．
（Ⅰ）求直線l與圓C的極坐標方程；
（Ⅱ）設直線l與圓C的交點為M，N，求△CMN的面積．

Answer 1

分析 （Ⅰ）利用三種方程的互化方法，求直線l與圓C的極坐標方程；
（Ⅱ）設直線l與圓C的交點為M，N，求出圓心到直線的距離，|MN|，即可求△CMN的面積．

解答 解：（Ⅰ）將C的參數方程化為普通方程為（x+1）²+（y+2）²=1，極坐標方程為ρ²+2ρcosθ+4ρsinθ+4=0…（1分）
直線l：y=x的極坐標方程為$θ=\frac{π}{4}$（ρ∈R），…（3分）
（Ⅱ）圓心到直線的距離d=$\frac{|-1+2|}{\sqrt{2}}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，∴|MN|=2$\sqrt{1-\frac{1}{2}}$=$\sqrt{2}$，
∴△CMN的面積S=$\frac{1}{2}×\sqrt{2}×\frac{\sqrt{2}}{2}$=$\frac{1}{2}$．

點評 本題考查三種方程的互化，考查直線與圓的位置關系，屬于中檔題．