Question

19．在平面直角坐標系xoy中，雙曲線${C_1}：\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1（{a＞0，b＞0}）$的漸近線與拋物線${C_2}：{y^2}=2px（{p＞0}）$交于點O，A，B，若△OAB的垂心為C₂的焦點，則C₁的離心率為（　　）

• A． $\frac{3}{2}$
• B． $\sqrt{5}$
• C． $\frac{{3\sqrt{5}}}{5}$
• D． $\frac{{\sqrt{5}}}{2}$

Answer 1

分析 求出A的坐標，可得k_AH=$\frac{4{b}^{2}}{4ab-{a}^{2}}$，利用△OAB的垂心為C₂的焦點，可得$\frac{4{b}^{2}}{4ab-{a}^{2}}$×（-$\frac{b}{a}$）=-1，由此可求C₁的離心率．

解答 解：雙曲線${C_1}：\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1（{a＞0，b＞0}）$的漸近線方程為y=±$\frac{b}{a}$x，
與拋物線C₂：x²=2py聯立，可得x=0或x=±$\frac{2pb}{a}$，
取A（$\frac{2pb}{a}$，$\frac{2p{b}^{2}}{{a}^{2}}$），設垂心H（$\frac{p}{2}$，0），
則k_AH=$\frac{4{b}^{2}}{4ab-{a}^{2}}$，
∵△OAB的垂心為C₂的焦點，
∴$\frac{4{b}^{2}}{4ab-{a}^{2}}$×（-$\frac{b}{a}$）=-1，
∴e=$\frac{c}{a}$=$\frac{3\sqrt{5}}{5}$．
故選C．

點評 本題考查雙曲線的性質，考查學生的計算能力，確定A的坐標是關鍵．