Question

4．在平面直角坐標系中，已知向量$\overrightarrow{m}$=（$\frac{\sqrt{2}}{2}$，-$\frac{\sqrt{2}}{2}$），$\overrightarrow{n}$=（cosx，sinx），$x∈（0，\frac{π}{2}）$．
（1）若$\overrightarrow{m}⊥\overrightarrow{n}$，求tanx的值；   
（2）若$\overrightarrow{m}$與$\overrightarrow{n}$的夾角為$\frac{π}{3}$，求x的值．

Answer 1

分析 （1）由已知向量的坐標結合向量垂直列式求得tanx的值；
（2）直接利用數量積求夾角公式可得$\sqrt{2}cosx-\sqrt{2}sinx=1$，再由輔助角公式化積可得cos（x+$\frac{π}{4}$）=$\frac{1}{2}$．求得x+$\frac{π}{4}$的值，則x的值可求．

解答 解：（1）∵$\overrightarrow{m}$=（$\frac{\sqrt{2}}{2}$，-$\frac{\sqrt{2}}{2}$），$\overrightarrow{n}$=（cosx，sinx），
∴由$\overrightarrow{m}⊥\overrightarrow{n}$，得$\overrightarrow{m}•\overrightarrow{n}=\frac{\sqrt{2}}{2}cosx-\frac{\sqrt{2}}{2}sinx=0$，
得sinx=cosx，∵$x∈（0，\frac{π}{2}）$，
∴cosx≠0，則tanx=1；
（2）∵$\overrightarrow{m}$與$\overrightarrow{n}$的夾角為$\frac{π}{3}$，
∴cos$\frac{π}{3}$=$\frac{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{n}}{|\overrightarrow{m}||\overrightarrow{n}|}=\frac{\frac{\sqrt{2}}{2}cosx-\frac{\sqrt{2}}{2}sinx}{1×1}=\frac{1}{2}$，
則$\sqrt{2}cosx-\sqrt{2}sinx=1$，
∴cos（x+$\frac{π}{4}$）=$\frac{1}{2}$．
∴x+$\frac{π}{4}=\frac{π}{3}$，則x=$\frac{π}{12}$．

點評 本題考查平面向量的數量積運算，考查了由數量積求夾角公式，屬中檔題．