Question

14．函數y=f（x）滿足對任意的x，y∈R，都有f（x+y）=f（x）•f（y），且f（1）=2，若g（x）是f（x）的反函數（注：互為反函數的函數圖象關于直線y=x對稱），則g（8）=（　　）

• A． 3
• B． 4
• C． 16
• D． $\frac{1}{256}$

Answer 1

分析 運用賦值法，可得f（2）=4，f（3）=8，再由互為反函數的函數圖象關于直線y=x對稱，點（m，n）的對稱點為（n．m），即可得到所求g（8）．

解答 解：函數y=f（x）滿足對任意的x，y∈R，都有f（x+y）=f（x）•f（y），且f（1）=2，
可得f（2）=f（1）•f（1）=4，
令x=1，y=2，可得f（3）=f（1）•f（2）=2×4=8，
由g（x）是f（x）的反函數，
可得互為反函數的函數圖象關于直線y=x對稱，
（3，8）關于直線y=x對稱的點為（8，3），
則g（8）=3．
故選：A．

點評 本題考查抽象函數及應用：求函數值，注意運用賦值法，考查互為反函數的函數圖象關于直線y=x對稱，點（m，n）的對稱點為（n．m），考查化簡運算能力，屬于中檔題．