Question

3．已知數(shù)列{a_n}的前n項和為S_n，a_n＞0，且滿足：（a_n+2）²=4S_n+4n+1，n∈N^*．
（1）求a₁及通項公式a_n；
（2）若b_n=（-1）ⁿ•a_n，求數(shù)列{b_n}的前n項和T_n．

Answer 1

分析 （1）利用數(shù)列遞推關(guān)系、等差數(shù)列的通項公式即可得出．
（2）對n分類討論，利用分組求和即可得出．

解答 解：（1）∵（a_n+2）²=4S_n+4n+1，n∈N^*，∴$（{a}_{1}+2）^{2}$=4a₁+5，a₁＞0，解得a₁=1．
n≥2時，$（{a}_{n-1}+2）^{2}$=4S_n-1+4（n-1）+1，相減可得：${a}_{n}^{2}-$$（{a}_{n-1}+2）^{2}$=0，a_n＞0，化為：a_n-a_n-1=2．
∴數(shù)列{a_n}是等差數(shù)列，公差為2，首項為1．
∴a_n=1+2（n-1）=2n-1．
（2）b_n=（-1）ⁿ•a_n=（-1）ⁿ•（2n-1）．
n=2k（k∈N^*）時，b_2k-1+b_2k=-（2n-1）+（2n+1）=2．
∴數(shù)列{b_n}的前n項和T_n=n．
n=2k-1（k∈N^*）時，b_2k+b_2k+1=（2n-1）-（2n+1）=-2．
∴數(shù)列{b_n}的前n項和T_n=-1-$\frac{n-1}{2}×2$=-n．
∴T_n=$\left\{\begin{array}{l}{n，n=2k}\\{-n，n=2k-1}\end{array}\right.$，k∈N^*．

點評 本題考查了分組求和、等差數(shù)列的通項公式、數(shù)列遞推關(guān)系，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．