Question

3．設函數f（x）=g（$\frac{x}{2}$）+x²，曲線y=g（x）在點（1，g（1））處的切線方程為9x+y-1=0，則曲線y=f（x）在點（2，f（2））處的切線方程為x+2y+6=0．

Answer 1

分析 由題意求得g（1））=-8，g′（1）=-9，對f（x）求導，注意復合函數的導數，求出f（2），x=2處切線的斜率，由點斜式方程即可得到所求方程．

解答 解：曲線y=g（x）在點（1，g（1））處的切線方程為9x+y-1=0，
可得g（1）=-8，g′（1）=-9，
函數f（x）=g（$\frac{x}{2}$）+x²的導數為f′（x）=$\frac{1}{2}$g′（$\frac{x}{2}$）+2x，
即有f（2）=g（1）+4=-8+4=-4，
f′（2）=$\frac{1}{2}$g′（1）+4=4-$\frac{9}{2}$=-$\frac{1}{2}$，
則曲線y=f（x）在點（2，f（2））處的切線方程為y-（-4）=-$\frac{1}{2}$（x-2），
即為x+2y+6=0．
故答案為：x+2y+6=0．

點評 本題考查導數的運用：求切線的方程，注意運用復合函數的導數，直線的點斜式方程，考查運算能力，屬于中檔題．