Question

8．直線y=2b與雙曲線$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞0，b＞0）的左支、右支分別交于A、B兩點，O為坐標原點，且△AOB為等腰直角三角形，則該雙曲線的離心率為（　　）

• A． $\frac{\sqrt{5}}{2}$
• B． $\frac{3}{2}$
• C． $\frac{\sqrt{30}}{5}$
• D． $\frac{3\sqrt{5}}{5}$

Answer 1

分析 由等腰直角三角形的性質，求得A點坐標，代入雙曲線方程，求得a和b的關系，由離心率公式即可求得雙曲線的離心率．

解答 解：由題意可知：直線y=2b與y軸交于C點，△AOB為等腰直角三角形，
則∠BAO=∠ABO=45°，
則AC=2b，
△AOB為等腰直角三角形，A（-2b，2b），
將A代入雙曲線$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1，可得$\frac{{4b}^{2}}{{a}^{2}}-4=1$，∴b=$\frac{\sqrt{5}}{2}$a，
∴e=$\frac{c}{a}$=$\sqrt{1+\frac{{b}^{2}}{{a}^{2}}}$=$\frac{3}{2}$，
雙曲線的離心率$\frac{3}{2}$，
故選：B．

點評 本題考查雙曲線的簡單的幾何性質，考查雙曲線的離心率公式，考查計算能力，屬于基礎題．