Question

17．若方程$\frac{x^2}{4-t}+\frac{y^2}{t-1}=1$所表示的曲線為C，給出下列四個命題：
①若C為橢圓，則1＜t＜4；
②若C為雙曲線，則t＞4或t＜1；
③曲線C不可能是圓；
④若$1＜t＜\frac{5}{2}$，曲線C為橢圓，且焦點坐標為$（±\sqrt{5-2t}，0）$；若t＜1，曲線C為雙曲線，且虛半軸長為$\sqrt{1-t}$．
則為真命題的是（　　）

• A． ①②
• B． ②③
• C． ③④
• D． ②④

Answer 1

分析 ①由題意可得$\left\{\begin{array}{l}{4-t＞0}\\{t-1＞0}\\{4-t≠t-1}\end{array}\right.$，求解不等式得答案；②由題意有（4-t）（t-1）＜0，求解不等式得答案；舉例說明③錯誤；分別求出t在不同范圍內的方程所表示的曲線，進一步求出橢圓的焦點坐標及雙曲線的虛半軸長判斷．

解答 解：①若C為橢圓，則$\left\{\begin{array}{l}{4-t＞0}\\{t-1＞0}\\{4-t≠t-1}\end{array}\right.$，解得1＜t＜4且t$≠\frac{5}{2}$，故①錯誤；
②若C為雙曲線，則（4-t）（t-1）＜0，解得t＞4或t＜1，故②正確；
③當t=$\frac{5}{2}$時，曲線C是圓，故③錯誤；
④若$1＜t＜\frac{5}{2}$，曲線C為橢圓，此時a²=4-t，b²=t-1，則$c=\sqrt{5-2t}$，焦點坐標為$（±\sqrt{5-2t}，0）$；
若t＜1，曲線C為雙曲線，方程為$\frac{{x}^{2}}{4-t}-\frac{{y}^{2}}{1-t}=1$，虛半軸長為$\sqrt{1-t}$，故④正確．
∴正確的命題是②④．
故選：D．

點評 本題考查命題的真假判斷與應用，考查圓錐曲線的方程與性質，是中檔題．