Question

10．?x₀∈（2，+∞），k（x₀-2）＞x₀（lnx₀+1），則正整數k的最小值為5．
（參考數據：ln2≈0.6931，ln3≈1.0986，ln5≈1.6094）

Answer 1

分析 根據題意得出k＞$\frac{{x}_{0}（l{nx}_{0}+1）}{{x}_{0}-2}$，設f（x）=$\frac{x（lnx+1）}{x-2}$，其中x＞2；利用導數求出f（x）在x＞2的最小值，即可求出正整數k的最小值．

解答 解：?x₀∈（2，+∞），∴x₀-2＞0，
∴k（x₀-2）＞x₀（lnx₀+1）可化為
k＞$\frac{{x}_{0}（l{nx}_{0}+1）}{{x}_{0}-2}$，
設f（x）=$\frac{x（lnx+1）}{x-2}$，其中x＞2；
則f′（x）=$\frac{[（lnx+1）+1]（x-2）-x（lnx+1）}{{（x-2）}^{2}}$=$\frac{x-4-2lnx}{{（x-2）}^{2}}$；
令f′（x）=0，
得x-4-2lnx=0，
設g（x）=x-4-2lnx，其中x＞2；
則g′（x）=1-$\frac{2}{x}$=$\frac{x-2}{x}$，
當x＞2時，g′（x）＞0，g（x）是單調增函數，
∴g（x）≥g（2）；
且g（2）=2-4-2ln2=-2-2×0.6931＜0，
g（5）=5-4-2ln5=1-2×1.6094＜0，
g（8）=8-4-2ln8=4-6ln2=4-6×0.6931＜0，
g（9）=9-4-2ln9=5-4ln3=5-4×1.0986＞0；
∴g（x）在（8，9）內有零點，
且在零點處f（x）取得最小值m；
∴f（8）=$\frac{8（ln8+1）}{6}$=$\frac{4}{3}$×（3ln2+1）=$\frac{4}{3}$×（3×0.6931+1）≈4.1＞m，
f（9）=$\frac{9（ln9+1）}{7}$=$\frac{9}{7}$×（2ln3+1）=$\frac{9}{7}$×（2×1.0986+1）≈4.1＞m；
∴k≥4.1；
即正整數k的最小值為5．
故答案為：5．

點評 本題考查了特稱命題的應用問題，也考查了不等式與函數的應用問題，是綜合性題目．