Question

1．若函數f（x）=（x-1）（x+2）（x²+ax+b）的圖象關于直線x=0對稱，則f（x）的最小值為（　　）

• A． -$\frac{25}{4}$
• B． $\frac{7}{4}$
• C． -$\frac{9}{4}$
• D． $\frac{41}{4}$

Answer 1

分析 根據對稱性求出a，b，利用導數研究函數的最值即可．

解答 解：函數f（x）=（x-1）（x+2）（x²+ax+b）的圖象關于直線x=0對稱，
∴f（-1）=f（1），f（-2）=f（2），
即-2（1-a+b）=0，0=4•（4+2a+b），求得b=-2，a=-1，
∴f（x）=（x-1）（x+2）（x²-x-2  ）=x⁴-5x²+4，
∴f′（x）=4x³-10x=2x（2x²-5）=2x（$\sqrt{2}$x-$\sqrt{5}$）•（$\sqrt{2}$x+$\sqrt{5}$）．
顯然，在（-∞，-$\frac{\sqrt{10}}{2}$），（0，$\frac{\sqrt{10}}{2}$）上，f′（x）＜0，f（x）為減函數；
在（$-\frac{\sqrt{10}}{2}$，0），（$\frac{\sqrt{10}}{2}$，+∞）上，f′（x）＞0，f（x）為增函數，
故當x=$-\frac{\sqrt{10}}{2}$時，y=$-\frac{9}{4}$，x=$\frac{\sqrt{10}}{2}$時，y=$-\frac{9}{4}$，
函數y取得最小值為$-\frac{9}{4}$，
故選：C．

點評 本題主要考查函數最值的區間，根據對稱性求出a，b的值，利用導數研究函數的單調性和函數的最值求法等知識，綜合性較強，難度較大．