Question

20．經過雙曲線$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞0，b＞0）的右焦點，傾斜角為60°的直線與雙曲線有且只有一個交點，則此雙曲線的離心率為2．

Answer 1

分析 根據雙曲線的幾何性質，所給直線應與雙曲線的一條漸近線y=$\frac{b}{a}$x平行，結合a，b，c和離心率公式，由此能求出雙曲線的離心率．

解答 解：∵經過雙曲線$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞0，b＞0）的右焦點，
傾斜角為60°的直線與雙曲線有且只有一個交點，
∴根據雙曲線的幾何性質，所給直線應與雙曲線的一條漸近線y=$\frac{b}{a}$x平行，
∴$\frac{b}{a}$=tan60°=$\sqrt{3}$，即b=$\sqrt{3}$a，
∴c=$\sqrt{{a}^{2}+{b}^{2}}$=2a，
e=$\frac{c}{a}$=2．
故答案為：2．

點評 本題考查雙曲線的離心率的求法，是中檔題，注意雙曲線的漸近線方程的合理運用．