Question

17．在△ABC中，角A、B、C的對(duì)邊分別為a，b，c，且滿足a²-b²-c²+$\sqrt{3}$bc=0，2bsinA=a，BC邊上中線AM的長(zhǎng)為$\sqrt{14}$
（ I）求角A和角B的大小；
（ II）求△ABC的各邊長(zhǎng)．

Answer 1

分析 （Ⅰ）利用余弦定理表示出cosA，將已知等式變形后代入求出cosA的值，確定出角A的度數(shù)，將2bsinA=a利用正弦定理化簡(jiǎn)求出sinB的值，即可確定出角B的大小；
（Ⅱ）由A=B，利用等角對(duì)等邊得到a=b，設(shè)a=b=x，利用余弦定理列出關(guān)于x的方程，求出方程的解得到x的值，確定出a與b的長(zhǎng)，再由sinC的值，利用正弦定理可求c的值．

解答 解：（Ⅰ）由a²-b²-c²+$\sqrt{3}$bc=0得：a²-b²-c²=-$\sqrt{3}$bc，即b²+c²-a²=$\sqrt{3}$bc，
∴由余弦定理得：cosA=$\frac{{b}^{2}+{c}^{2}-{a}^{2}}{2bc}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
∵A為三角形內(nèi)角，
∴A=$\frac{π}{6}$，
由2bsinA=a，利用正弦定理化簡(jiǎn)得：2sinBsinA=sinA，即sinB=$\frac{1}{2}$，
則B=$\frac{π}{6}$．--------5分
（Ⅱ）由A=B，得到a=b=x，可得C=$\frac{2π}{3}$，
由余弦定理得AM²=x²+$\frac{{x}^{2}}{4}$-2x•$\frac{x}{2}$•（-$\frac{1}{2}$）=14，
解得：x=2$\sqrt{2}$，
可得：a=b=2$\sqrt{2}$，c=$\frac{asinC}{sinA}$=$\frac{2\sqrt{2}×\frac{\sqrt{3}}{2}}{\frac{1}{2}}$=2$\sqrt{6}$．----------10分．

點(diǎn)評(píng) 此題考查了正弦、余弦定理，以及三角形面積公式，熟練掌握定理及公式是解本題的關(guān)鍵，屬于基礎(chǔ)題．