Question

16．已知橢圓C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0）的一個頂點為A（2，0），離心率為$\frac{\sqrt{2}}{2}$．直線y=k（x-1）與橢圓C交于不同的兩點M，N．
（1）求橢圓C的方程；
（2）當k=1時，求△AMN的面積．

Answer 1

分析 （1）利用已知條件列出方程組求出a，b即可得到橢圓方程．
（2）利用直線與橢圓聯(lián)立方程組，通過韋達定理以及弦長公式，點到直線的距離公式，求解三角形的面積即可．

解答 （本小題滿分12分）
解：（1）由題意得$\left\{\begin{array}{l}{a=2}\\{\frac{c}{a}=\frac{\sqrt{2}}{2}}\\{{a}^{2}={b}^{2}+{c}^{2}}\end{array}\right.$解得b=$\sqrt{2}$．
所以橢圓C的方程為$\frac{{x}^{2}}{4}+\frac{{y}^{2}}{2}=1$．
（2）由$\left\{\begin{array}{l}y=x-1\\ \frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{2}=1\end{array}\right.$得3x²-4x²-2=0．
設(shè)點M，N的坐標分別為（x₁，y₁），（x₂，y₂），則x₁+x₂=$\frac{4}{3}$，x₁x₂=$-\frac{2}{3}$．
所以|MN|=$\sqrt{（{x}_{2}-{x}_{1}）^{2}+（{y}_{2}-{y}_{1}）^{2}}$=$\sqrt{1+{k}^{2}}•\sqrt{（{x}_{1}+{x}_{2}）^{2}-4{x}_{1}{x}_{2}}$=$\sqrt{2[{{（\frac{4}{3}）}^2}+4×\frac{2}{3}]}$=$\frac{{4\sqrt{5}}}{3}$．
又因為點A（2，0）到直線y=x-1的距離$d=\frac{1}{{\sqrt{2}}}=\frac{{\sqrt{2}}}{2}$，
所以△AMN的面積為$S=\frac{1}{2}|{MN}|d=\frac{1}{2}×\frac{{4\sqrt{5}}}{3}×\frac{{\sqrt{2}}}{2}=\frac{{\sqrt{10}}}{3}$．

點評 本題主要考查橢圓的標準方程及其幾何性質(zhì)；直線與圓錐曲線的位置關(guān)系，點到直線的距離公式，弦長公式，運算求解能力．