Question

7．已知函數$f（x）=\frac{1}{3}{x^3}-{x^2}+cx+d，（{c，d∈R}）$，函數f（x）的圖象記為曲線C．
（1）若函數f（x）在[0，+∞）上單調遞增，求c的取值范圍；
（2）若函數y=f（x）-m有兩個零點α，β（α≠β），且x=α為f（x）的極值點，求2α+β的值；
（3）設曲線C在動點A（x₀，f（x₀））處的切線l₁與C交于另一點B，在點B處的切線為l₂，兩切線的斜率分別為k₁，k₂，是否存在實數c，使得$\frac{k_1}{k_2}$為定值？若存在，求出c的值；若不存在，說明理由．

Answer 1

分析 法一：（1）求出函數的導數，根據x=1是函數的最小值點，得到關于c的不等式，解出即可；
（2）求出c=-α²+2α，根據f（α）=f（β）得：$\frac{1}{3}（2α+β-3）{（α-β）^2}=0$，從而求出α和β的關系；
（3）求出函數f（x）的導數，得到x+2x₀-3=0，即B點的橫坐標為3-2x₀所以過點B的曲線的切線斜率，根據k₁，k₂的值，作商即可．
法二：（1）求出函數的導數，分離參數c，根據函數的單調性求出c的范圍即可；（2）根據根與關系判斷即可；（3）分別求出k₁，k₂的值，作商即可．

解答 解法一：（1）f'（x）=x²-2x+c，當x∈[0，+∞）時f'（x）=x²-2x+c≥0
所以（x²-2x+c）_min≥0，而x²-2x+c在x=1處取得最小值，
所以1-2+c≥0，c≥1；…（4分）
（2）因為x=α為f（x）的極值點，
所以${k_1}=f'（α）={α^2}-2α+c=0$，所以c=-α²+2α，
又因為y=f（x）-m有不同的零點α，β，所以f（α）=f（β），
即$\frac{1}{3}{α^3}-{α^2}+cα+d=\frac{1}{3}{α^3}-{β^2}+cβ+d$，
整理得：$\frac{1}{3}（2α+β-3）{（α-β）^2}=0$，
所以2α+β=3．…（9分）
（3）滿足條件的實數c存在，
由f'（x）=x²-2x+c，知過A（x₀，f（x₀））點與曲線相切的直線l₁為：y=f'（x₀）（x-x₀）+f（x₀），
且k₁=${{x}_{0}}^{2}$-2x₀+c，
將y=f'（x₀）（x-x₀）+f（x₀）與y=f（x）聯立即得B點得橫坐標，
所以f'（x₀）（x-x₀）+f（x₀）=f（x）
即：$\frac{1}{3}{x^3}-{x^2}+cx+d=（x_0^2-2{x_0}+c）（x-{x_0}）+\frac{1}{3}x_0^3-x_0^2+c{x_0}+d$
整理得：$\frac{1}{3}（x+2{x_0}-3）{（x-{x_0}）^2}=0$由已知x≠x₀，所以x+2x₀-3=0
所以x=3-2x₀，即B點的橫坐標為3-2x₀所以過點B的曲線的切線斜率為：
${k_2}=f'（x）=x_{\;}^2-2x+c$=${（3-2{x_0}）^2}-2（3-2{x_0}）+c$=$4（x_0^2-2{x_0}+c）+3-3c$=4k₁+3-3c
因此當且僅當 3-3c=0時，k₁、k₁成比例，這時c=1
即存在實數c=1，使$\frac{k_1}{k_2}$為定值．…（14分）
解法二：（1）f'（x）=x²-2x+c，當x∈[0，+∞）時f'（x）=x²-2x+c≥0，
所以c≥-（x²-2x）對任意的x∈[0，+∞）恒成立，故c≥[-（x²-2x）]_max，
即[-（x²-2x）]_max=1，故c的取值范圍是[1，+∞）；…（4分）
（2）因為x=α為f（x）的極值點，且y=f（x）-m有兩個零點α，β（α≠β），
所以f（x）-m=0的三個實數根分別為α，α，β，
由根與系數的關系得$α+α+β=2α+β=-\frac{-1}{{\frac{1}{3}}}=3$；…（9分）
（3）滿足條件的實數c存在，因為f'（x）=x²-2x+c，
所以過A（x₀，f（x₀））點且與曲線C相切的直線l₁為：
y=f'（x₀）（x-x₀）+f（x₀），其中${k_1}=x_0^2-2{x_0}+c$．
設l₁與C交于另一點B（x₁，y₁），則x₀，x₀，x₁必為方程f（x）=f′（x₀）（x-x₀）+f（x₀）的三個實數根，
由f（x）=f′（x₀）（x-x₀）+f（x₀）得$\frac{1}{3}{x^3}-{x^2}+cx+d=（x_0^2-2{x_0}+c）（x-{x_0}）+f（{x_0}）$，
因為上述方程的右邊不含三次項和二次項，
所以${x_0}+{x_0}+{x_1}=-\frac{-1}{{\frac{1}{3}}}=3$，所以x₁=3-2x₀，
所以${k_2}={f^'}（{x_1}）=x_1^2-2{x_1}+c$=${（3-2{x_0}）^2}-2（3-2{x_0}）+c$=$4（x_0^2-2{x_0}+c）+3-3c$=4k₁+3-3c．
因此當且僅當 3-3c=0時，k₁、k₁成比例，這時c=1，即存在實數c=1，使$\frac{k_1}{k_2}$為定值．…（14分）

點評 本題考查了函數的單調性、最值問題，考查導數的應用以及直線的斜率問題，考查轉化思想，是一道綜合題．