Question

5．S_n為數列{a_n}的前n項和，已知a_n＞0，a_n²+a_n=2S_n．
（1）求數列{a_n}的通項公式；
（2）若b_n=$\frac{{a}_{n}}{{2}^{{a}_{n-1}}}$，求數列{b_n}的前n項和T_n．

Answer 1

分析 （1）由題得a_n²+a_n=2S_n，a_n+1²+a_n+1=2S_n+1，兩式子相減得{a_n}是首項為1，公差為1的等差數列，即可求數列{a_n}的通項公式；
（2）若b_n=$\frac{{a}_{n}}{{2}^{{a}_{n-1}}}$，利用錯位相減法，求數列{b_n}的前n項和T_n．

解答 解：（1）由題得a_n²+a_n=2S_n，a_n+1²+a_n+1=2S_n+1，兩式子相減得：
結合a_n＞0得a_n+1-a_n=1     …..（4分）
令n=1得a₁²+a₁=2S₁，即a₁=1，
所以{a_n}是首項為1，公差為1的等差數列，即a_n=n…..（6分）
（2）因為b_n=$\frac{{a}_{n}}{{2}^{{a}_{n-1}}}$=$\frac{n}{{2}^{n-1}}$（n≥2）
所以T_n=$\frac{2}{2}$+…$\frac{n}{{2}^{n-1}}$+$\frac{n+1}{{2}^{n}}$   ①
$\frac{1}{2}$T_n=$\frac{2}{{2}^{2}}$+…+$\frac{n}{{2}^{n}}$+$\frac{n+1}{{2}^{n+1}}$      ②…..（8分）
①-②得$\frac{1}{2}$T_n=1+$\frac{1}{{2}^{2}}$+…+$\frac{1}{{2}^{n}}$-$\frac{n+1}{{2}^{n+1}}$=$\frac{3}{2}$-$\frac{n+3}{{2}^{n+1}}$，
所以數列{b_n}的前n項和T_n=3-$\frac{n+3}{{2}^{n}}$．…..（12分）

點評 本題考查數列的通項與求和，考查錯位相減法的運用，屬于中檔題．