Question

14．已知圓C：x²+y²-4x-14y+45=0及點Q（-2，3）．
（1）若M為圓C上任一點，求|MQ|的最大值和最小值；
（2）若實數m，n滿足m²+n²-4m-14n+45=0，求k=$\frac{n-3}{m+2}$的最大值和最小值．

Answer 1

分析 （1）求出|QC|，即可求|MQ|的最大值和最小值；
（2）由題意，（m，n）是圓C上一點，k表示圓上任意一點與（-2，3）連線的斜率，設直線方程為y-3=k（x+2），直線與圓C相切時，k取得最值．

解答 解：（1）圓C：x²+y²-4x-14y+45=0可化為（x-2）²+（y-7）²=8，圓心坐標為C（2，7），半徑r=2$\sqrt{2}$，
|QC|=$\sqrt{（2+2）^{2}+（7-3）^{2}}$=4$\sqrt{2}$，|MQ|_max=4$\sqrt{2}$+2$\sqrt{2}$=6$\sqrt{2}$，|MQ|_min=4$\sqrt{2}-2\sqrt{2}$=2$\sqrt{2}$；
（2）由題意，（m，n）是圓C上一點，k表示圓上任意一點與（-2，3）連線的斜率，
設直線方程為y-3=k（x+2），直線與圓C相切時，k取得最值，即$\frac{|2k-7+2k+3|}{\sqrt{{k}^{2}+1}}$=2$\sqrt{2}$，
∴k=2$±\sqrt{3}$，
∴k的最大值為2+$\sqrt{3}$，最小值為2-$\sqrt{3}$．

點評 本題考查直線與圓的位置關系，考查點到直線的距離公式，屬于中檔題．