Question

19．設函數f（x）=x²-2lnx
（I）求f（x）的單調區間；
（II）求f（x）在$[{\frac{1}{e}，e}]$上的最大值和最小值；
（III）若關于x的方程f（x）=x²-x-a在區間[1，3]上恰好有兩個相異的實根，求實數a的取值范圍．

Answer 1

分析 （Ⅰ）先求導數fˊ（x）然后在函數的定義域內解不等式fˊ（x）＞0和fˊ（x）＜0，fˊ（x）＞0的區間為單調增區間，fˊ（x）＜0的區間為單調減區間；
（Ⅱ）求出函數的導數，得到函數的單調區間，求出函數的最大值和最小值即可；
（Ⅲ）方程f（x）=x²-x-a變形為x-2lnx-a=0，令g（x）=x-2lnx-a（x＞0），利用數形結合的思想，要求g（x）在區間[1，3]上恰好有兩個相異的零點．通過g（x）的單調性及最值，極值求解．

解答 解：（I）由函數f（x）=x²-2lnx知其定義域為{x|x＞0}，
∵f′（x）=2x-$\frac{2}{x}$=$\frac{2（x+1）（x-1）}{x}$，
令f'（x）＞0，解得：x＞1；令f'（x）＜0，解得：0＜x＜1
∴函數f（x）單調增區間是（1，+∞）；減區間是（0，1）；
（II）由f′（x）=0，解得：x=1或-1（舍），
由（I）知f（x）在[$\frac{1}{e}$，1]上遞減，在[1，e]上遞增，
當x=1時，f（x）取最小值f（1）=1，
又f（$\frac{1}{e}$）=$\frac{1}{{e}^{2}}$+2，f（e）=e²-2，且e²-2＞$\frac{1}{{e}^{2}}$+2，
∴f（x）在[$\frac{1}{e}$，e]上的最小值為1，最大值為e²-2；
（III）方程f（x）=x²-x-a，即x-2lnx-a=0，記g（x）=x-2lnx-a，
∵g′（x）=$\frac{x-2}{x}$，
由g′（x）＞0，得x＞2或x＜0（舍去），g′（x）＜0得0＜x＜2，
∴g（x）在[1，2]上遞減，在[2，3]上遞增，
為使方程f（x）=x²-x-a在區間[1，3]上恰好有兩個相異的實根，
只需g（x）=0在[1，2]和[2，3]上各有一個實根，
于是$\left\{\begin{array}{l}{g（1）≥0}\\{g（2）＜0}\\{g（3）≥0}\end{array}\right.$，即$\left\{\begin{array}{l}{1-a≥0}\\{2-2ln2-a＜0}\\{3-2ln3-a≥0}\end{array}\right.$，
∴2-2ln2＜a≤3-2ln3，
即實數a的取值范圍是（2-2ln2，3-2ln3]．

點評 本題考查導數知識的綜合運用，考查函數的單調性，恒成立問題，函數與方程，數形結合思想，屬于中檔題．