Question

4．如圖，在四棱錐P-ABCD中，△PCD為等邊三角形，底面ABCD為直角梯形，AB⊥AD，AD∥BC，AD=2BC=2，AB=$\sqrt{3}$，點E、F分別為AD、CD的中點．
（1）求證：直線BE∥平面PCD；
（2）求證：平面PAF⊥平面PCD；
（3）若PB=$\sqrt{3}$，求直線PB與平面PAF所成的角．

Answer 1

分析 （1）推導出四邊形BCDE是平行四邊形，從而BE∥CD，由此能證明直線BE∥平面PCD．
（2）推導出CD⊥PF，AB⊥BC，CD⊥AF，從而CD⊥平面PAF，由此能證明平面PAF⊥平面PCD．
（3）設AF與BE交于點G，連結PG，則∠BPG為直線BP與平面PAF所成的角，由此能求出直線PB與平面PAF所成的角．

解答 （本小題滿分13分）
證明：（1）∵AD=2BC=2，且E為AD的中點，∴BC=ED．
又因為AD∥BC，則四邊形BCDE是平行四邊形，∴BE∥CD，
∵CD?平面PCD，BE?平面PCD，
∴直線BE∥平面PCD．…（4分）
（2）∵在等邊△PCD中，F是CD的中點，∴CD⊥PF，
又BC∥AD，AB⊥AD，∴AB⊥BC，
又$AB=\sqrt{3}，BC=1$，∴AC=2，
又AD=2，∴CD⊥AF，又∵PF∩AF=F，∴CD⊥平面PAF，
故平面PAF⊥平面PCD．…（8分）
解：（3）設AF與BE交于點G，
由（2）知CD⊥平面PAF，BE∥CD，
故BG⊥平面PAF，連結PG，
則∠BPG為直線BP與平面PAF所成的角．
在Rt△PBG中，$BG=\frac{3}{2}$，$sin∠BPG=\frac{BG}{PB}=\frac{{\frac{3}{2}}}{{\sqrt{3}}}=\frac{{\sqrt{3}}}{2}$，
∴$∠BPG=\frac{π}{3}$．
∴直線PB與平面PAF所成的角$\frac{π}{3}$．…（13分）

點評 本題考查面面平行的證明，考查面面垂直的證明，考查線面角的求法，是中檔題，解題時要認真審題，注意空間思維能力的培養．