Question

19．數列{a_n}中，a₁=2，a_n+1=$\frac{n+1}{2n}{a}_{n}（n∈{N}^{*}）$．
（Ⅰ）證明數列{$\frac{{a}_{n}}{n}$}是等比數列，并求數列{a_n}的通項公式；
（Ⅱ）設b_n=$\frac{{a}_{n}}{4n-{a}_{n}}$，若數列{b_n}的前n項和是T_n，求證：T_n＜2．

Answer 1

分析 （Ⅰ）化簡已知條件，即可證明數列{$\frac{{a}_{n}}{n}$}是等比數列，求出首項與公比，然后求數列{a_n}的通項公式；
（Ⅱ）化簡數列的通項公式，利用放縮法推出${b}_{n}≤\frac{1}{{2}^{n-1}}$，然后利用等比數列求和，證明結論．

解答 解：（Ⅰ）由題設$\frac{{a}_{n+1}}{n+1}=\frac{1}{2}×\frac{{a}_{n}}{n}$，數列$\left\{\frac{{a}_{n}}{n}\right\}$是首項為2，公比$q=\frac{1}{2}$的等比數列
所以$\frac{{a}_{n}}{n}=2×{（\frac{1}{2}）}^{n-1}={2}^{2-n}$，${a}_{n}=n×{2}^{2-n}=\frac{4n}{{2}^{n}}$；
（Ⅱ）證明：${b}_{n}=\frac{{a}_{n}}{4n-{a}_{n}}=\frac{\frac{4n}{{2}^{n}}}{4n-\frac{4n}{{2}^{n}}}=\frac{1}{{2}^{n}-1}$，
注意對任意n∈N^*，2ⁿ-1≥2^n-1，
所以${T}_{n}≤1+\frac{1}{2}+\frac{1}{{2}^{2}}+\frac{1}{{2}^{3}}+…+\frac{1}{{2}^{n-1}}=2（1-\frac{1}{{2}^{n}}）＜2$．

點評 本題考查數列的遞推關系式的應用，考查數列求和以及放縮法的應用，考查計算能力．