Question

18．已知$\int_0^1{（{x^2}+m）dx$=1，則函數f（x）=log_m（3+2x-x²）的單調遞減區間是（-1，1）．

Answer 1

分析 求出m的值，根據復合函數同增異減的原則求出函數g（x）的遞增區間即可．

解答 解：∵$\int_0^1{（{x^2}+m）dx$=1，
∴（$\frac{1}{3}$x³+mx）${|}_{0}^{1}$=1，解得：m=$\frac{2}{3}$，
故f（x）=log_m（3+2x-x²）=${log}_{\frac{2}{3}}$（3+2x-x²），
令g（x）=-x²+2x+3=-（x-3）（x+1），
令g（x）＞0，解得：-1＜x＜3，
而g（x）在對稱軸x=1，
故g（x）在（-1，1）遞增，
故f（x）在（-1，1）遞減，
故答案為：（-1，1）．

點評 本題考查了定積分的運算，考查復合函數的單調性異減二次函數的性質，對數函數的性質，是一道中檔題．