Question

8．設f（x），g（x）是定義在同一區間[a，b]上的兩個函數，若?x∈[a，b]都有|f（x）-g（x）|≤1成立，則稱f（x），g（x）在[a，b]上是“親密函數”，區間[a，b]稱為“親密區間”．若f（x）=x²+3x+2，g（x）=2x+1在[a，b]上是“親密函數”，則其“親密區間”是（　　）

• A． [0，2]
• B． [0，1]
• C． [1，2]
• D． [-1，0]

Answer 1

分析 由“親密函數”的概念知，?x∈[a，b]都有|f（x）-g（x）|=|x²+x+1|≤1成立，可求得f（x），g（x）的“親密區間”是[-1，0]，從而得到答案．

解答 解：若f（x）=x²+3x+2，g（x）=2x+1在[a，b]上是“親密函數”，
則|f（x）-g（x）|=|x²+3x+2-（2x+1）|=|x²+x+1|≤1．
因為x²+x+1=（x+$\frac{1}{2}$）²+$\frac{3}{4}$＞0，
所以，|x²+x+1|≤1?x²+x+1≤1，即x²+x≤0，
解得：-1≤x≤0．
即?x∈[-1，0]都有|f（x）-g（x）|≤1成立，f（x），g（x）的“親密區間”是[-1，0]．
故選：D．

點評 本題考查函數恒成立問題，理解新定義“親密函數”與“親密區間”是關鍵，考查推理與運算能力，屬于中檔題．