Question

17．已知f（x）=$\frac{{{x^2}+2x+a}}{x}$，x∈1，+∞）．
（1）當a=$\frac{1}{2}$時，判斷函數單調性并證明；
（2）當a=$\frac{1}{2}$時，求函數f（x）的最小值；
（3）若對任意x∈1，+∞），f（x）＞0恒成立，試求實數a的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）當a=$\frac{1}{2}$時，f（x）=x+$\frac{1}{2x}$+2，直接利用函數的單調性定義證明即可；
（2）直接利用（1）證明的函數單調性可知最小值為f（1）；
（3）在區間[1，+∞）上，f（x）=$\frac{{x}^{2}+2x+a}{x}$＞0恒成立，則$\left\{\begin{array}{l}{{x}^{2}+2x+a＞0}\\{x≥1}\end{array}\right.$⇒$\left\{\begin{array}{l}{a＞-{x}^{2}+2x}\\{x≥1}\end{array}\right.$；等價于a大于函數φ（x）=-（x²+2x）在[1，+∞）上的最大值．

解答 解　（1）當a=$\frac{1}{2}$時，f（x）=x+$\frac{1}{2x}$+2，
任取1≤x₁＜x₂，則
f（x₁）-f（x₂）=（x₁-x₂）+$（\frac{1}{2{x}_{1}}-\frac{1}{2{x}_{2}}）$，
∵1≤x₁＜x₂，∴x₁x₂＞1，∴2x₁x₂-1＞0．
又x₁-x₂＜0，∴f（x₁）＜f（x₂），
∴f（x）在[1，+∞）上是增函數，
（2）由f（x）的單調性可知在[1，+∞）上的最小值為f（1）=$\frac{7}{2}$；
（3）在區間[1，+∞）上，f（x）=$\frac{{x}^{2}+2x+a}{x}$＞0恒成立，
則$\left\{\begin{array}{l}{{x}^{2}+2x+a＞0}\\{x≥1}\end{array}\right.$⇒$\left\{\begin{array}{l}{a＞-{x}^{2}+2x}\\{x≥1}\end{array}\right.$；
等價于a大于函數φ（x）=-（x²+2x）在[1，+∞）上的最大值．
只需求函數φ（x）=-（x²+2x）在[1，+∞）上的最大值．
φ（x）=-（x+1）²+1在[1，+∞）上遞減，
∴當x=1時，φ（x）最大值為φ（1）=-3．
∴a＞-3，故實數a的取值范圍是（-3，+∞）

點評 本題主要考查了函數單調性定義證明，函數的最值以及恒成立問題，屬中等題．