Question

3．已知$\overrightarrow a$=（cosx，sinx），$\overrightarrow b$=（sinx+$\sqrt{2}$，cosx+$\sqrt{2}）$，設f（x）=$\overrightarrow a•\overrightarrow b$．
（Ⅰ）求函數f（x）的最大值；
（Ⅱ）已知m∈R，p：?x∈R使不等式f（x）≥m²+2m成立；q：函數y=lg（x²+2mx+1）的定義域為R．若“p或q”為真，“p且q”為假，求實數m的取值范圍．

Answer 1

分析 （Ⅰ）求出f（x）的表達式，根據三角函數的性質求出f（x）的最大值即可；
（Ⅱ）分別求出p，q為真時的m的范圍，通過討論p，q的真假，得到關于m的不等式組，解出即可．

解答 解：（Ⅰ）$f（x）=\overrightarrow a•\overrightarrow b=sinxcosx+\sqrt{2}cosx+sinxcosx+\sqrt{2}sinx$=$2sinxcosx+\sqrt{2}（sinx+cosx）$（2分）
令sinx+cosx=t，則$t∈[{-\sqrt{2}，\sqrt{2}}]$，2sinxcosx=t²-（13分）
∴$f（x）=φ（t）={t^2}+\sqrt{2t}-1={（t+\frac{{\sqrt{2}}}{2}）^2}-\frac{3}{2}$，
∴$f{（x）_{max}}=φ{（t）_{max}}=φ（\sqrt{2}）=3$（5分）
（Ⅱ）若?x∈R使不等式f（x）≥m²+2m成立  則m²+2m≤f（x）_max=3⇒-3≤m≤1（17分）
若函數y=lg（x²+2mx+1）的定義域為R則△=4m²-4＜0⇒-1＜m＜1（19分）
∵“p或q”為真，“p且q”為假∴p、q一真一假
若p真q假，則$\left\{{\begin{array}{l}{-3≤m≤1}\\{m≤-1或m≥1}\end{array}}\right.⇒-3≤m≤-1或m=1$
若p真q假，則$\left\{{\begin{array}{l}{m＜-3或m＞1}\\{-1＜m＜1}\end{array}}\right.⇒m∈∅$
綜上可知，實數m的取值范圍為[-3，-1]∪{1}（12分）

點評 本題考查了向量的運算性質，考查三角函數的性質以及復合命題的判斷，是一道中檔題．