Question

20．如圖，已知CD是△ABC中AB邊上的高，以CD為直徑的⊙O分別交CA、CB于點E、F，點G是AD的中點．$GE=BD=2，EC=\frac{9}{5}$．
（1）求證：GE是⊙O的切線；
（2）求sin∠DCB值．

Answer 1

分析 （1）連接OE，由CD是⊙O直徑，證得∠OED=∠ODE，在Rt△AED中，G為AD中點，得出$EG=GD=\frac{1}{2}AD$，∠GED=∠GDE，求得∠OEG=∠DEO+∠GED=∠ODE+∠GDE=∠GDC=90°，即可得出結論；
（2）連接OG，證得△ADC∽△AED，得出$\frac{AD}{AC}=\frac{AE}{AD}$，解得AE的長與AC的長，由勾股定理得：DC、BC的長，即可求得sin∠DCB．

解答 （1）證明：連接OE，如圖所示：
∵CD是⊙O的直徑，
∴∠CED=90°，
∴∠AED=90°，
∵OE=OD，
∴∠OED=∠ODE，
在Rt△AED中，
∵G為AD中點，
∴$EG=GD=\frac{1}{2}AD$，
∴∠GED=∠GDE，
∵CD是△ABC中AB邊上的高，
∴∠GDC=90°，
∴∠OEG=∠DEO+∠GED=∠ODE+∠GDE=∠GDC=90°，
∴GE是⊙O的切線；

（2）解：連接OG，如圖所示：
由（1）得：AD=2GE=4，
∵∠ADC=∠AED=90°，∠EAD=∠DAC，
∴△ADC∽△AED，
∴$\frac{AD}{AC}=\frac{AE}{AD}$，
∴AD²=AE•AC，
即${4^2}=AE（{AE+\frac{9}{5}}）$，
解得：$AE=\frac{16}{5}$或AE=-5（不合題意，舍去），
∴$AC=\frac{16}{5}+\frac{9}{5}=5$，
由勾股定理得：$DC=\sqrt{A{C^2}-A{D^2}}=\sqrt{{5^2}-{4^2}}=3$，
由勾股定理得：$BC=\sqrt{B{D^2}+C{D^2}}=\sqrt{{2^2}+{3^2}}=\sqrt{13}$，
∴$sin∠DCB=\frac{BD}{BC}=\frac{2}{{\sqrt{13}}}=\frac{{2\sqrt{13}}}{13}$．

點評 本題考查了圓周角定理、切線的判定、相似三角形的判定與性質、勾股定理、三角函數等知識；本題綜合性強，有一定難度．