Question

雙曲線C₁：

x2

a2

-

y2

b2

=1（a＞0，b＞0）的一條漸近線方程為y=

1

2

x，其右焦點到該直線的距離等于

5

；點P是圓x²+y²=a²上的動點，作PD⊥x軸于D，且

DE

=

3

2

DP

．
（1）求點E的軌跡C₂的方程
（2）已知P（0，-

1

2

），是否存在直線y=kx+m與軌跡C₂，相交于不同的兩點M，N，且|PM|=|PN|，若存在，求實數m的取值范圍，若不存在，請說明理由．

Answer 1

考點：直線與圓錐曲線的綜合問題

專題：圓錐曲線中的最值與范圍問題

分析：（1）由已知得

b a = 1 2 |c| 5 = 5 c2=a2+b2

，解得a=2

5

，b=

5

，從而P（2

5

cosθ，2

5

sinθ），0≤θ＜2π，進而E（2

5

cosθ，

15

sinθ），由此能求出點E的軌跡C₂的方程．
（2）聯立

y=kx+m x2 20 + y2 15 =1

，得（4k²+3）x²+8kmx+4m²-60=0，由△＞0，得m²＜20k²+15．當k≠0時，設M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），MN的中點Q（x₀，y₀），k_PQ=-

6m+4k2+3

-8km

，由|PM|=|PN|，得2m=4k²+3，由此求出0＜m＜10．當k=0時，m²＜20k²+15=15，由此求出實數m的取值范圍是（-

15

，

15

）．

解答： 解：（1）∵雙曲線C₁：

x2

a2

-

y2

b2

=1（a＞0，b＞0）的一條漸近線方程為y=

1

2

x，
其右焦點到該直線的距離等于

5

，
∴

b a = 1 2 |c| 5 = 5 c2=a2+b2

，解得a=2

5

，b=

5

，c=5，
∵點P是圓x²+y²=a²=20上的動點，
∴P（2

5

cosθ，2

5

sinθ），0≤θ＜2π，
∵作PD⊥x軸于D，且

DE

=

3

2

DP

，
∴D（2

5

cosθ，0），

DE

=

3

2

（0，2

5

sinθ）=（0，

15

sinθ），
∴E（2

5

cosθ，

15

sinθ），
∴點E的參數方程是

x=2 5 cosθ y= 15 sinθ

，
∴點E的軌跡C₂的方程為

x2

20

+

y2

15

=1．
（2）聯立

y=kx+m x2 20 + y2 15 =1

，得（4k²+3）x²+8kmx+4m²-60=0，
∵直線y=kx+m與軌跡C₂相交于不同的兩點M，N，
∴△=64k²m²-4（4k²+3）（4m²-60）＞0，m²＜20k²+15，①
（i）當k≠0時，設M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），MN的中點Q（x₀，y₀），
x0=

x1+x2

2

=-

4km

4k2+3

，y₀=kx₀+m=

3m

4k2+3

，
∵P（0，-

1

2

），∴k_PQ=

3m 4k2+3 + 1 2

- 4km 4k2+3

=-

6m+4k2+3

-8km

，
∵|PM|=|PN|，∴PQ⊥MN，
∴k_PQ•k=-1，∴-

6m+4k2+3

-8km

=-

1

k

，
2m=4k²+3，②
由①②，得0＜m＜10．
（ii）當k=0時，|PM|=|PN|，∴PQ⊥MN，
m²＜20k²+15=15，解得-

15

＜m＜

15

．
∴當k≠0時，實數m的取值范圍是（0，10）；當k=0時，實數m的取值范圍是（-

15

，

15

）．

點評：本題考查點的軌跡方程的求法，考查滿足條件的實數的取值范圍的求法，解題時要認真審題，注意圓的參數方程、橢圓性質、韋達定理的合理運用．