Question

若函數f_A（x）的定義域為A=[a，b），且f_A（x）=（

x

a

+

b

x

-1）²-

2b

a

+1，其中a、b為任意正實數，且a＜b．
（1）當A=[4，7）時，研究f_A（x）的單調性（不必證明）；
（2）寫出f_A（x）的單調區間（不必證明），并求函數f_A（x）的最小值、最大值．

Answer 1

考點：函數單調性的判斷與證明

專題：函數的性質及應用

分析：（1）A=[4，7）時，根據

x

4

+

7

x

≥

7

，得出f_A（x）的增減區間是什么；
（2）由（1）歸納得出f_A（x）在x∈[a，b）上的增減性以及最值是什么．

解答： 解：（1）當A=[4，7）時，f_A（x）=(

x

4

+

7

x

-1)2-

2×7

4

+1
∵

x

4

+

7

x

≥

7

，當且僅當x=2

7

時“=”成立，
∴當x∈[4，2

7

]時f_A（x）是減函數，
當x∈[2

7

，7）時f_A（x）是增函數；
（2）f_A（x）=(

x

a

+

b

x

-1)2-

2b

a

+1在x∈[a，

ab

]上f_A（x）是減函數，
在x∈[

ab

，b）上f_A（x）是增函數；
∴當x=

ab

時f_A（x）有最小值為(2

b a

-1)2-

2b

a

+1=

2b

a

-4

b a

+2=2(

b a

-1)2，
當x=a時f_A（x）有最大值為(

b

a

)2-

2b

a

+1=(

b

a

-1)2．

點評：本題考查了函數的圖象與性質的應用問題，也考查了基本不等式的應用問題以及求函數最值的問題，是中檔題．