Question

如圖，在長方體中，AB=b，BC=c，CC₁=a，且a＞b＞c，求沿著長方體表面A到C₁最短路線長．

Answer 1

考點：多面體和旋轉體表面上的最短距離問題

專題：空間位置關系與距離

分析：求A點到C₁的最短距離，由兩點之間直線段最短，想到需要把長方體剪開再展開，把A到C₁的最短距離轉化為求三角形的邊長問題，根據實際圖形，應該有三種展法，展開后利用勾股定理求出每一種情況中AC₁的長度，比較三個值的大小后即可得到結論．

解答： 解：長方體ABCD-A₁B₁C₁D₁的表面可有三種不同的方法展開，如圖所示．
不妨設AB=a，AD=b，AA₁=c．
表面展開后，依第一個圖形展開，AC₁=

(b+c)2+a2

=

a2+b2+c2+2bc

．
依第二個圖形展開，AC₁=

(a+b)2+c2

=

a2+b2+c2+2ab

．
依第三個圖形展開，AC₁=

(a+c)2+b2

=

a2+b2+c2+2ac

．
∵a＞b＞c，
∴ab＞ac＞bc
∴A點沿長方形表面到C₁的最短距離為

a2+b2+c2+2bc

．

點評：本題考查了點、線、面之間的距離，考查了學生的空間想象能力和思維能力，考查了數學轉化思想方法，解答的關鍵是想到對長方體的三種展法，是中檔題．