Question

已知

m

=（2cos（x+

π

2

），cosx），

n

=（cosx，2sin（x+

π

2

）），且函數f（x）=

m

•

n

+1
（1）設方程f（x）-1=0在（0，π）內有兩個零點x₁，x₂，求x₁+x₂的值；
（2）若把函數y=f（x）的圖象向左平移

π

6

個單位，再向下平移2個單位，得函數g（x）圖象，求函數g（x）在[-

π

2

，

π

2

]上的單調增區間．

Answer 1

考點：平面向量數量積的運算,三角函數中的恒等變換應用,函數y=Asin（ωx+φ）的圖象變換

專題：三角函數的圖像與性質

分析：（1）由條件利用兩個向量的數量積公式，兩角和的三角公式，求出x₁ =

π

4

，x₂=

π

2

，可得x₁+x₂的值．
（2）由條件利用函數y=Asin（ωx+φ）的圖象變換規律，正弦函數的單調性，求得函數g（x）在[-

π

2

，

π

2

]上的單調增區間．

解答： 解：（1）由題設知f（x）=

m

•

n

+1=-2sinxcosx+2cos²x+1=-sin2x+cos2x+2=

2

cos（2x+

π

4

）+2．
由程f（x）-1=0求得cos（2x+

π

4

）=-

2

2

，∴2x+

π

4

=2kπ+

3π

4

，或2x+

π

4

=2kπ+

5π

4

，k∈z．
∴x=kπ+

π

4

，或 x=kπ+

π

2

．
∵點x₁，x₂ ∈（0，π），∴x₁ =

π

4

，x₂=

π

2

，∴點x₁+x₂=

3π

4

．
（2）把函數y=f（x）的圖象向左平移

π

6

個單位，得到函數y=

2

cos[2（x+

π

6

）+

π

4

]+2=

2

cos（2x+

7π

12

）+2=-

2

sin（2x+

π

12

）+2的圖象；
  再向下平移2個單位，得函數g（x）=-

2

sin（2x+

π

12

）的圖象圖象，
令2kπ+

π

2

≤2x+

π

12

≤2kπ+

3π

2

，k∈z，求得 kπ+

5π

24

≤x≤kπ+

17π

24

，k∈z，可得g（x）的增區間為[kπ+

5π

24

，kπ+

17π

24

]，k∈z．
再結合x∈[-

π

2

，

π

2

]，可得函數g（x）在[-

π

2

，

π

2

]上的單調增區間為[-

π

2

，-

7π

24

]、[

5π

24

，

π

2

]．

點評：本題主要考查兩個向量的數量積公式，兩角和的三角公式，正弦函數的單調性，函數y=Asin（ωx+φ）的圖象變換規律，屬于中檔題．