Question

已知橢圓

x2

a2

+

y2

b2

=1，其長軸長是短軸長的2倍，右焦點到左頂點的距離為2+

3

．
（1）求橢圓的方程；
（2）過點（0，m）且傾斜角為

π

4

的直線l與橢圓交于A、B兩點，當△AOB（O為原點）的面積最大時，求m的值．

Answer 1

考點：橢圓的簡單性質

專題：圓錐曲線的定義、性質與方程

分析：（1）根據橢圓的幾何性質得出a=2，b=1，c=

3

，（2）聯立方程組得出：5x²+8mx+4m²-4=0，利用韋達定理得出|AB|=

2

|x₁-x₂|=

2

(x1+x2)2-4x1x2

=

2

64m2 25 -4× 4m2-4 5

=

4 2

5

5-m2

，原點到直線AB的距離為：d=

|m|

2

，再利用三角形的面積公式運算即可．

解答： 解：（1）∵橢圓

x2

a2

+

y2

b2

=1，其長軸長是短軸長的2倍，右焦點到左頂點的距離為2+

3

．
∴a=2b，a+c=2+

3

，a²=b²+c²，
解得：a=2，b=1，c=

3

，
∴橢圓的方程為：

x2

4

+y²=1，
（2）設直線l的方程為：y=x+m，代入橢圓的方程得：5x²+8mx+4m²-4=0，
△=64m²-20（4m²-4）＞0，m²＜5
A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
x₁+x₂=-

8m

5

，x₁x₂=

4m2-4

5

，
|AB|=

2

|x₁-x₂|=

2

(x1+x2)2-4x1x2

=

2

64m2 25 -4× 4m2-4 5

=

4 2

5

5-m2

，
原點到直線AB的距離為：d=

|m|

2

，
∴△AOB（O為原點）的面積=

1

2

×

4 2

5

5-m2

×

|m|

2

=

2

5

25 4 -(m2- 5 2 )2

，
∴當m²=

5

2

時，即m=±

10

2

，△AOB（O為原點）的面積最大．

點評：本題考查了橢圓的幾何性質，直線與橢圓的位置關系，弦長公式的運用，屬于中檔題．