Question

7．已知函數f（x）=$\frac{x}{e^x}$．
（I）求f（x）的極值；
（II）求證：當x＜1時，f（x）＜f（2-x）．

Answer 1

分析 （Ⅰ）求出函數的導數，求出極值點，判斷函數的單調性，然后求解函數f（x）的極值；
（II）當x＜1時，構造函數g（x）=f（x）-f（2-x），求出導函數，判斷單調性，然后證明不等式．

解答 （本小題滿分12分）
解：（ I）函數f（x）=$\frac{x}{e^x}$．
∴$f'（x）=\frac{1-x}{e^x}$．…（2分）
令f'（x）=0，解得x=1．…（3分）
當x變化時，f'（x），f（x）的變化情況如下表：

x	（-∞，1）	1	（1，+∞）
f′（x）	+	0	-
f（x）	↗	極大值	↘

所以函數f（x）在x=1處取得極大值$f（1）=\frac{1}{e}$，無極小值．…（6分）
（ II）證明：令g（x）=f（x）-f（2-x），x＜1，
即$g（x）=\frac{x}{e^x}-\frac{2-x}{{{e^{2-x}}}}=\frac{x}{e^x}+\frac{x-2}{{{2^{2-x}}}}$．…（7分）
∵$g'（x）=\frac{1-x}{e^x}+\frac{x-1}{{{e^{2-x}}}}=（x-1）（\frac{1}{{{2^{2-x}}}}-\frac{1}{e^x}）＞0$，…（9分）
∴g（x）在（-∞，1）上是增函數．…（10分）
∴g（x）＜g（1）=0，即f（x）＜f（2-x）．…（12分）

點評 本題考查函數的單調性與極值的求法，函數的最值的求法，考查計算能力．