Question

12．已知y=f（x）是奇函數，當x∈（0，2）時，f（x）=alnx-ax+1，當x∈（-2，0）時，函數f（x）的最小值為1，則a=（　　）

• A． -2
• B． 2
• C． ±1
• D． 1

Answer 1

分析 由奇函數f（x）的圖象關于原點對稱，由題意可得當x∈（0，2）時，f（x）的最大值為-1，求得當x∈（0，2）時，f（x）的導數和單調區間，確定a＞0，f（1）取得最大值-1．解方程可得a的值．

解答 解：y=f（x）是奇函數，可得f（x）的圖象關于原點對稱，
由當x∈（-2，0）時，函數f（x）的最小值為1，
可得當x∈（0，2）時，f（x）的最大值為-1，
由f（x）=alnx-ax+1的導數為f′（x）=$\frac{a}{x}$-a=$\frac{a（1-x）}{x}$，
由最大值可得a＞0，f（x）在（1，2）遞減，在（0，1）遞增．
最大值為f（1）=1-a=-1，
解得a=2．
故選：B．

點評 本題考查函數的奇偶性的定義和圖象、性質，考查導數的運用：求單調區間和最值，考查運算能力，屬于中檔題．