Question

1．已知A₁、A₂分別是橢圓C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0）的左、右頂點，點P為橢圓C上一點（與A₁、A₂不重合），若直線PA₁與PA₂的斜率乘積是-$\frac{3}{4}$，則橢圓C的離心率為（　　）

• A． $\frac{1}{4}$
• B． $\sqrt{3}$
• C． $\frac{\sqrt{3}}{2}$
• D． $\frac{1}{2}$

Answer 1

分析 由題意可得A，B的坐標，設出P的坐標，由P在橢圓上得到關于P的坐標的方程，再由直線PA₁與PA₂的斜率乘積是-$\frac{3}{4}$得關于P的坐標的另一方程，聯立可得a，b的關系，進一步求出橢圓C的離心率．

解答 解：由已知得：A₁（-a，0），A₂（a，0），設P（x₀，y₀），
由點P為橢圓C上一點可得${{y}_{0}}^{2}=\frac{{a}^{2}-{{x}_{0}}^{2}}{{a}^{2}}•{b}^{2}$，①
∵直線PA₁與PA₂的斜率乘積是-$\frac{3}{4}$，∴$\frac{{{y}_{0}}^{2}}{{{x}_{0}}^{2}-{a}^{2}}=-\frac{3}{4}$，②
聯立①②得：$\frac{{b}^{2}}{{a}^{2}}=\frac{3}{4}$，∴$\frac{{a}^{2}-{c}^{2}}{{a}^{2}}=\frac{3}{4}$，得$\frac{{c}^{2}}{{a}^{2}}=\frac{1}{4}$，
∴e=$\frac{c}{a}=\frac{1}{2}$．
故選：D．

點評 本題考查橢圓的簡單性質，考查了橢圓離心率的求法，是中檔題．