分析 (1)由3anan-1+an-an-1=0(n≥2),兩邊同除以anan-1,整理得$\frac{1}{{a}_{n}}$-$\frac{1}{{a}_{n-1}}$=3(n≥2).$\frac{1}{{a}_{1}}$=1,數列{$\frac{1}{{a}_{n}}$}是首項為1,公差為3的等差數列;
(2)由(1)得$\frac{1}{{a}_{n}}$=1+(n-1)×3=3n-2,求得an=$\frac{1}{3n-2}$,則bn=an•an+1=$\frac{1}{(3n-2)(3n+1)}$=$\frac{1}{3}$($\frac{1}{3n-2}$-$\frac{1}{3n+1}$),“裂項法”即可求得數列{bn}的前n項和Tn,則λ<3n+$\frac{12(-1)^{n}}{n}$+36(-1)n+1,分類根據基本不等式,即可求得實數λ的取值范圍.
解答 解:(1)證明:∵數列{an}中,a1=1,3anan-1+an-an-1=0(n≥2).
整理得:$\frac{1}{{a}_{n}}$-$\frac{1}{{a}_{n-1}}$=3(n≥2).
又$\frac{1}{{a}_{1}}$=1,
∴數列{$\frac{1}{{a}_{n}}$}是首項為1,公差為3的等差數列;
(2)由(1)得$\frac{1}{{a}_{n}}$=1+(n-1)×3=3n-2,
∴an=$\frac{1}{3n-2}$,
bn=an•an+1=$\frac{1}{(3n-2)(3n+1)}$=$\frac{1}{3}$($\frac{1}{3n-2}$-$\frac{1}{3n+1}$),
數列{bn}的前n項和Tn,Tn=bn+bn+bn+…+bn,
=$\frac{1}{3}$[(1-$\frac{1}{4}$)+($\frac{1}{4}$-$\frac{1}{7}$)+($\frac{1}{7}$-$\frac{1}{10}$)+…+($\frac{1}{3n-2}$-$\frac{1}{3n+1}$)],
=$\frac{1}{3}$(1-$\frac{1}{4}$+$\frac{1}{4}$-$\frac{1}{7}$+$\frac{1}{7}$-$\frac{1}{10}$+…+$\frac{1}{3n-2}$-$\frac{1}{3n+1}$),
=$\frac{1}{3}$(1-$\frac{1}{3n+1}$)
=$\frac{n}{3n+1}$,
λTn<n+12•(-1)n恒成立,
∴λ<3n+$\frac{12(-1)^{n}}{n}$+36(-1)n+1,
當n為偶數時,
λ<3n+$\frac{12}{n}$+37≤2$\sqrt{3n×\frac{12}{n}}$+37=49,(當且僅當3n=$\frac{12}{n}$,即n=2時取“=”),
當n為奇數時,
λ<3n-$\frac{12}{n}$-35,
由函數的單調性可知:3n-$\frac{12}{n}$-35>-45,
即當n=1時取最小值,
綜上可知:實數λ的取值范圍λ<49.
點評 本題考查等差數列的性質,等差數列的證明,考查“裂項法”求數列的前n項和,考查分類討論思想,考查計算能力,屬于中檔題.
科目:高中數學 來源: 題型:選擇題
A. | $\frac{1}{4}$ | B. | $\sqrt{3}$ | C. | $\frac{\sqrt{3}}{2}$ | D. | $\frac{1}{2}$ |
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