Question

13．已知函數f（x）=1-ax+lnx，（x＞0），函數g（x）滿足g（x）=x-1，（x∈R）．
（1）若函數f（x）在x=1時存在極值，求a的值；
（2）在（1）的條件下，當x＞1時，blnx＜$\frac{f（x）}{g（x）}$，求實數b的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）求出${f}^{'}（x）=\frac{1}{x}-a$，由f′（1）=0及函數f（x）在x=1時存在極值，能求出a．
（2）推導出b＜0，此時，當x＞1時，blnx＜$\frac{f（x）}{g（x）}$可轉化為（bx-b-1）lnx+x-1＜0，令g₁（x）=（bx-b-1）lnx+x-1，則${{g}_{1}}^{'}（x）=blnx+b-\frac{b+1}{x}+1$，由此利用導數性質及分類討論思想能求出實數b的取值范圍．

解答 解：（1）∵f（x）=1-ax+lnx，（x＞0），
∴${f}^{'}（x）=\frac{1}{x}-a$，由f′（1）=0，得a=1，
此時f（x）在（0，1）為增函數，在（1，+∞）為減函數，
所以f（x）在x=1時存在極大值．所以a=1．
（2）當b≥0，x＞1時，blnx≥0，
當x＞1時，由（1）知，f（x）＜f（1）=0，g（x）＞0，
所以$\frac{f（x）}{g（x）}＜0$，blnx＜$\frac{f（x）}{g（x）}$，不成立．
故b＜0，此時，當x＞1時，blnx＜$\frac{f（x）}{g（x）}$可轉化為：（bx-b-1）lnx+x-1＜0，
令g₁（x）=（bx-b-1）lnx+x-1，則${{g}_{1}}^{'}（x）=blnx+b-\frac{b+1}{x}+1$，
令${g}_{2}（x）={{g}_{1}}^{'}（x）$，則${{g}_{2}}^{'}（x）=\frac{x}+\frac{b+1}{{x}^{2}}$=$\frac{b（x+1+\frac{1}）}{{x}^{2}}$，
①若-$\frac{1}{2}＜b＜0$，當x∈（1，-$\frac{b+1}$）時，${{g}_{2}}^{'}（x）＞0$，得${{g}_{1}}^{'}（x）＞{{g}_{1}}^{'}（1）$=0，
所以g₁（x）為（1，-$\frac{b+1}$）上的增函數，故存在x₀∈（1，-$\frac{b+1}$），使g₁（x）＞g₁（1）=0，
與g₁（x）＜0相矛盾，故-$\frac{1}{2}＜b＜0$時，不能使blnx＜$\frac{f（x）}{g（x）}$，成立；
②若b≤-$\frac{1}{2}$，當x＞1時，x+1+$\frac{1}$＞0，即${{g}_{2}}^{'}（x）＜0$，得${{g}_{1}}^{'}（x）＜{{g}_{1}}^{'}（1）=0$，
∴g₁（x）為（1，+∞）上的減函數，故g₁（x）＜g₁（1）=0
∴blnx＜$\frac{f（x）}{g（x）}$成立．
綜上所述，實數b的取值范圍是（-∞，-$\frac{1}{2}$]．

點評 本題考查實數值的求法，考查實數的取值范圍的求法，是中檔題，解題時要認真審題，注意構造法、導數性質的合理運用．