Question

5．已知雙曲線$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{2}$=1（a＞$\sqrt{2}$）的兩條漸近線的夾角為$\frac{π}{3}$，則雙曲線的離心率為（　　）

• A． $\frac{\sqrt{3}}{3}$
• B． $\frac{2\sqrt{3}}{3}$
• C． $\frac{4\sqrt{3}}{3}$
• D． $\frac{3}{5}$

Answer 1

分析 雙曲線雙曲線$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{2}$=1（a＞$\sqrt{2}$）的漸近線方程是y=$±\frac{\sqrt{2}}{a}x$，由題設條件可知$\frac{\sqrt{2}}{a}$=$\frac{\sqrt{3}}{3}$，從而求出a的值，進而求出雙曲線的離心率．

解答 解：∵雙曲線$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{2}$=1（a＞$\sqrt{2}$）的漸近線方程是y=$±\frac{\sqrt{2}}{a}x$
∴由雙曲線$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{2}$=1（a＞$\sqrt{2}$）的兩條漸近線的夾角為$\frac{π}{3}$，
可知$\frac{\sqrt{2}}{a}$=$\frac{\sqrt{3}}{3}$，
∴a²=6，c²=8，∴雙曲線的離心率為$\frac{2\sqrt{3}}{3}$，
故選B．

點評 本題考查雙曲線的性質及其應用，解題的關鍵是由漸近線的夾角求出a．