Question

11．已知點P（1，1），過點P動直線l與圓C：x²+y²-2y-4=0交與點A，B兩點．
（1）若|AB|=$\sqrt{17}$，求直線l的傾斜角；
（2求線段AB中點M的軌跡方程．

Answer 1

分析 （1）利用點斜式，設出過P點的直線l，利用與圓的弦長為$\sqrt{17}$，求出k的值，可得直線l的傾斜角；
（2）設M的坐標（x，y），由垂徑定理可知∠PMC=90°，故點M的軌跡是以CP為直徑的圓．可得方程．

解答 解：（1）由題意：圓C：x²+y²-2y-4=0，
化為圓的標準方程x²+（y-1）²=5，圓心C（0，1），r=$\sqrt{5}$．
∵又|AB|=$\sqrt{17}$
當動直線l的斜率不存在時，直線l的方程為x=1時，顯然不滿足題意；
當動直線l的斜率存在時，設動直線l的方程為：y-1=k（x-1）即kx-y+1-k=0
故弦心距d=$\sqrt{{r}^{2}-（\frac{\sqrt{17}}{2}）^{2}}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$．
再由點到直線的距離公式可得d=$\frac{|k|}{\sqrt{{k}^{2}+1}}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
解得：k=$±\sqrt{3}$．
 即直線l的斜率等于±$\sqrt{3}$，
根據tanθ=k，
故得直線l的傾斜角等于$\frac{π}{3}$或$\frac{2π}{3}$．
（2）由題意：線段AB中點為M，設M的坐標（x，y），
由垂徑定理可知∠PMC=90°，故點M的軌跡是以CP為直徑的圓，
又∵點C（0，1），P（1，1）
故M的軌跡方程為$（x-\frac{1}{2}）^{2}+（y-1）^{2}=\frac{1}{4}$．

點評 本題主要考查直線和圓的位置關系的判斷，根據直線和圓相交的弦長公式是解決本題的關鍵．